《高等数学》第一学期期末考试题（九）公众号考研数学竞赛

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《高等数学》第一学期期末考试题（九）公众号考研数学竞赛

一、单选题（共 5 题），每题只有一个选项正确

1. 当

x \to 0^{+}

时，下列无穷小量中，与

x

等价的是（）．

A.

e^{- \sin x} - 1

B.

\sqrt{x + 1} - \cos x

C.

1 - \cos \sqrt{2 x}

D.

1 - \frac{\ln (1 + x)}{x}

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2. 设函数

f (x), g (x)

在

x = 0

的某去心邻域内有定义且恒不为零．若当

x \to 0

时，

f (x)

是

g (x)

的高阶无穷小，则当

x \to 0

时，（）。

A.

f (x) + g (x) = o (g (x))

B.

f (x) g (x) = o (f^{2} (x))

C.

f (x) = o (e^{g (x)} - 1)

D.

f (x) = o (g^{2} (x))

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3. 设函数

f (x)

连续，给出下列四个条件：
（1）

lim_{x \to 0} \frac{| f (x) | - f (0)}{x}

存在；
（2）

lim_{x \to 0} \frac{f (x) - | f (0) |}{x}

存在；
（3）

lim_{x \to 0} \frac{| f (x) |}{x}

存在；
（4）

lim_{x \to 0} \frac{| f (x) | - | f (0) |}{x}

存在；
其中能得到＂

f (x)

在

x = 0

处可导＂的条件个数是（）。

A.

B.

C.

D.

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4. 设数

f (x)

在区间

[0, + \infty)

上可导，则（）．

A.

当

lim_{x \to + \infty} f (x)

存在时，

lim_{x \to + \infty} f^{'} (x)

存在

B.

当

lim_{x \to + \infty} f^{'} (x)

存在时，

lim_{x \to + \infty} f (x)

存在

C.

当

lim_{x \to + \infty} \frac{\int_{0}^{x} f (t) d t}{x}

存在时，

lim_{x \to + \infty} f (x)

存在

D.

当

lim_{x \to + \infty} f (x)

存在时，

lim_{x \to + \infty} \frac{\int_{0}^{x} f (t) d t}{x}

存在

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5. 设单位质点

P, Q

分别位于点

(0, 0)

和

(0, 1)

处，

P

从点

(0, 0)

出发沿

x

轴正向移动，记

G

为引力常量，则当质点

P

移动到点

(l, 0)

时，克服质点

Q

的引力所做的功为（）．

A.

\int_{0}^{l} \frac{G}{x^{2} + 1} d x

B.

\int_{0}^{l} \frac{G x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x

C.

\int_{0}^{l} \frac{G}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x

D.

\int_{0}^{l} \frac{G (x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x

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二、填空题（共 5 题），请把答案直接填写在答题纸上

lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{x} - 1}{\ln x \cdot \ln (1 - x)} =

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7. 曲线

y = \sqrt[3]{x^{3} - 3 x^{2} + 1}

的渐近线方程为

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lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} [\ln \frac{1}{n} + 2 \ln \frac{2}{n} + \dots + (n - 1) \ln \frac{n - 1}{n}] =

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9. 设

\int_{1}^{+ \infty} \frac{a}{x (2 x + a)} d x = \ln 2

，则

a =

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10. 微分方程

x y^{'} - y + x^{2} e^{x} = 0

满足条件

y (1) = - e

的解为

y =

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三、解答题（共 10 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

11. 设函数

f (x) = | x |^{\frac{1}{(1 - x) (x - 2)}}

，试确定其所有的间断点并判定其类型（第一类，第二类）．

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12. 设函数

f (x)

在

x = 0

处连续，且

lim_{x \to 0} \frac{x f (x) - e^{2 \sin x} + 1}{\ln (1 + x) + \ln (1 - x)} = - 3

证明：

f (x)

在

x = 0

处可导，并求

f^{'} (0)

．

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13. 求由

{\begin{cases} x = t - \sin t, \\ y = 1 - \cos t \end{cases}

确定的函数

y = y (x)

的一阶，二阶导数

y^{'} (x), y^{''} (x)

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14. 已知函数

f (x) = (e^{x} + 1) x^{2}

，试求

f (x)

的

n

阶带皮亚诺余项的麦克劳林公式，并求

f^{(5)} (0)

．

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15. 设

t > 0

，平面有界区域

D

由曲线

y = \sqrt{x} e^{- x}

与直线

x = t, x = 2 t

及

x

轴围成，

D

绕

x

轴旋转一周所成旋转体的体积为

V (t)

，求

V (t)

的最大值．

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16. 试求曲线

y^{2} = x

在点

(0, 0)

处的曲率圆方程．

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17. 试求微分方程

(2 y - 3 x) d x + (2 x - 5 y) d y = 0

满足条件

y (1) = 1

的特解．

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18. 计算

\int_{0}^{1} \frac{1}{(x + 1) (x^{2} - 2 x + 2)} d x

．

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19. 已知函数

f (x) = \int_{0}^{x} e^{t^{2}} \sin t d t, g (x) = \int_{0}^{x} e^{t^{2}} d t \cdot \sin^{2} x

，试判断

x = 0

是它们的极值点？还是

(0, 0)

是它们描述的曲线的拐点？如果是极值点，是极大值点还是极小值点？

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20. 如果对微分方程

y^{''} - 2 a y^{'} + (a + 2) y = 0

的任一解

y (x)

，反常积分

\int_{0}^{+ \infty} y (x) d x

均收敛，试求

a

的取值范围．

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四、证明题（共 1 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

21. 设函数

f (x)

在闭区间

[0, 1]

上连续，在开区间

(0, 1)

内二阶可导，且

f^{''} (x) \neq 0

，满足

\int_{0}^{1} f (x) d x = \int_{0}^{1} x f (x) d x = 0

，证明

f (x)

在

[0, 1]

上恰好有两个零点．

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