单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
当 $x \rightarrow 0$ 时, $x-\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right) \sim c x^k$, 则 $c, k$ 分别是
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}, 3$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{6}, 3$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}, 2$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{6}, 2$.
曲线 $y=f(x)=\int_x^{\sqrt{3}} x \sin t^2 \mathrm{~d} t$ 与直线 $x=0, x=\sqrt{3}, y=0$ 所围平面图形绕 $y$ 轴旋转一周所形 成的旋转体的体积为
$\text{A.}$ $\frac{1}{3} \pi \sin 3-\pi \cos 3$.
$\text{B.}$ $-\frac{1}{3} \pi \sin 3-\pi \cos 3$.
$\text{C.}$ $\frac{2}{3} \pi \sin 3-2 \pi \cos 3$.
$\text{D.}$ $-\pi \cos 3-\sin 3$.
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\pi}{2 n^4} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n i^2 \sin \frac{\pi j}{2 n}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{5}$.
设 $f(x)$ 满足微分方程 $f^{\prime \prime}(x)+x f^{\prime}(x)=\ln (1+x)-\frac{\arctan x}{x+1}$, 且 $f(x)$ 有驻点 $x=x_0>0$, 则
$\text{A.}$ $x_0$ 不是极值点.
$\text{B.}$ $x_0$ 是极大值点.
$\text{C.}$ $x_0$ 是极小值点.
$\text{D.}$ $x_0$ 是否是极值点无法判断.
设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上有连续导数, 且 $f(0)>0, f^{\prime}(x) \geqslant 0$, 若 $F(x)=f(x)+f^{\prime}(x)$, 则 $\int_0^{+\infty} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x$ 收敛是 $\int_0^{+\infty} \frac{1}{F(x)} \mathrm{d} x$ 收敛的
$\text{A.}$ 必要非充分条件.
$\text{B.}$ 充分非必要条件.
$\text{C.}$ 充分必要条件.
$\text{D.}$ 既非充分也非必要条件.
已知 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某邻域内连续, 且 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)-x^k y}{\left(x^2+y^2\right)^2}=1$, 则
$\text{A.}$ $k=1$ 时, $(0,0)$ 是极小值点.
$\text{B.}$ $k=2$ 时, $(0,0)$ 是极大值点.
$\text{C.}$ $k=3$ 时, $(0,0)$ 是极小值点.
$\text{D.}$ $k=4$ 时, $(0,0)$ 是极大值点.
设函数 $f(x, y)=1+\frac{x y}{\sqrt{1+y^3}}$, 则积分 $I=\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_{x^2}^1 f(x, y) \mathrm{d} y=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}(\sqrt{2}+1)$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{6}(\sqrt{2}-1)$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{6}(\sqrt{2}+1)$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}(\sqrt{2}-1)$.
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}1 & -3 & 1 & -2 \\ 2 & -5 & -2 & -2 \\ 0 & -4 & 5 & 1 \\ -3 & 9 & -6 & 7\end{array}\right), M_3$, 是 $\boldsymbol{A}$ 的第 3行第 $j$ 列元素的余子式 $(j=1,2,3,4)$, 则 $M_{31}+3 M_{32}-2 M_{33}+2 M_{34}=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $-2$.
$\text{D.}$ $-3$.
设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵, 将 $\boldsymbol{A}$ 的第 2 列加到第 3 列得矩阵 $\boldsymbol{B}$, 再将 $\boldsymbol{B}$ 的第 3 行的 $-1$ 倍加到第 2 行得 $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & a\end{array}\right)$, 其中 $a$ 为常数, 则 $\boldsymbol{A}$ 的 3 个特征值为
$\text{A.}$ $1,2, a$.
$\text{B.}$ $1,2,-2$.
$\text{C.}$ $1,-1,2$.
$\text{D.}$ $1, a,-a$.
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 都是 $n$ 阶矩阵, $r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})=n$, 则
$\text{A.}$ $r\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B}\end{array}\right)=n, r(\boldsymbol{A}: \boldsymbol{B}) < n$.
$\text{B.}$ $r\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B}\end{array}\right) < n, r(\boldsymbol{A}: \boldsymbol{B})=n$.
$\text{C.}$ $r\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B}\end{array}\right) < n, r(\boldsymbol{A}: \boldsymbol{B}) < n$.
$\text{D.}$ $r\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B}\end{array}\right)=n, r(\boldsymbol{A}: \boldsymbol{B})=n$.
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(x)=\sqrt[3]{x \sin ^2 x}(-\pi < x < \pi)$, 则 $f^{\prime}(x)=$
设 $f(x)=\int_{-x}^x \frac{\sin x t}{t} \mathrm{~d} t, x \neq 0$, 则 $\int x^2 f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=$
设 $y=y(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=3 t^2+2 t+3, \\ y=\mathrm{e}^y \sin t+1\end{array}\right.$ 所确定, 则曲线 $y=y(x)$ 在 $t=0$ 对应的点 处的曲率 $k=$
已知方程 $\mathrm{e}^x=k x$ 有且仅有一个实根, 则 $k$ 的取值范围为
在宽为 $2 R$ 的河面上, 任意一点处的流速与该点到两岸距离之积成正比. 已知河道中心线处水 的流速为 $v_0$, 则河面上距河道中心线 $r$ 处河水的流速 $v(r)$ 在区间 $[-R, R]$ 上的平均值 $\bar{v}=$
设 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有基础解系 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,1,2,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(0,-3,1,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{B x}=\mathbf{0}$ 有基础解系 $\boldsymbol{\beta}_1=(1,3$, $0,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_2=(1,2,-1, a)^{\mathrm{T}}$, 若 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 和 $\boldsymbol{B x}=\mathbf{0}$ 没有非零公共解, 则参数 $a$ 满足的条件是
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $y=y(x)$ 是由方程 $y^3+x y+x^2-2 x+1=0$ 在点 $(1,0)$ 的某邻域内确定的可微函数,
$$
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\int_1^x y(t) \mathrm{d} t}{(x-1)^3} .
$$
设 $f(x)$ 二阶可导, 且 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=0$, 若 $g(x, y)=\int_0^y f(x t) \mathrm{d} t$ 满足方程
$$
\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}-x y g(x, y)=x y^2 \sin x y,
$$
求 $g(x, y)$.
有一内表面为旋转抛物面的水缸, 其深为 $a$ (单位: 米), 缸口直径为 $2 a$, 缸内盛满了水, 设水的 密度为 $\rho$ (单位: 千克 / 立方米). 若以每秒 $Q$ 立方米的速率将缸中的水全部抽出, 问:
（1）共需多少时间?
(2) 需做多少功?
设函数 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上连续, 在 $(0,2)$ 内二阶可导, $f^{\prime \prime}(x) < 0$, 且 $f(0)=0, f^{\prime}(1)=0$, 又设 曲线 $y=f(x)$ 上任一点 $(x, y)$ 处的曲率半径恒等于 1 .
(1) 求函数 $f(x)$;
(2) 计算 $\iint_D x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $D$ 是由直线 $x=0, x=2, y=2$ 及曲线 $y=f(x)$ 围成的平面区域.
(1) 证明: $\ln (n+1) < 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n} < 1+\ln n$;
(2) 设 $F_0(x)=\ln x, F_{n+1}(x)=\int_0^x F_n(t) \mathrm{d} t, n=0,1,2, \cdots$, 其中 $x>0$, 求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n ! F_n(1)}{\ln n}$.
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2^2+2 x_3^2-2 x_1 x_3, g\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_3^2-2 x_1 x_2-2 x_1 x_3$.
(1) 求一个可逆矩阵 $\boldsymbol{C}$, 使得 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 可用合同变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{C y}$ 化为标准形;
(2) 记 $g\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的矩阵为 $\boldsymbol{B}$, 求正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$, 使得 $\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B C}\right) \boldsymbol{Q}$ 为对角矩阵;
(3) 求一个可逆矩阵 $\boldsymbol{T}$, 使得在合同变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{T} \boldsymbol{y}$ 下可将 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 与 $g\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 同时化 为标准形.