题号:2726    题型:解答题    来源:2023年张宇老师考研数学冲刺卷试模拟考试(数学二卷)
有一内表面为旋转抛物面的水缸, 其深为 $a$ (单位: 米), 缸口直径为 $2 a$, 缸内盛满了水, 设水的 密度为 $\rho$ (单位: 千克 / 立方米). 若以每秒 $Q$ 立方米的速率将缸中的水全部抽出, 问:
(1)共需多少时间?
(2) 需做多少功?
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答案:
(1) 以缸底中心为原点, 对称轴为 $y$ 轴在轴截面上建立如图所示的 平面直角坐标系, 则可设畾内表面 (旋转抛物面) 是由抛物线 $y=k x^2$ 绕 $y$ 轴旋转而成的. 根据题意, $\left.y\right|_{x=a}=a$, 故 $k=\frac{1}{a}$, 即抛物线方程为 $y=$ $\frac{1}{a} x^2$. 于是,缸的容积为
$$
V=\pi \int_0^a x^2 \mathrm{~d} y=\pi \int_0^a a y \mathrm{~d} y=\frac{\pi a^3}{2} \text { (立方米). }
$$

因此,若以每秒 $Q$ 立方米的速率将钵中的水全部抽出, 则需要的时间为 $t=\frac{V}{Q}=\frac{\frac{\pi a}{2}}{Q}=\frac{\pi a^3}{2 Q}$ (秒).
(2) 取 $y$ 为积分变量, 其取值范围为 $[0, a]$. 在 $y$ 轴上的区间 $[0, a]$ 内任取一个典型小区间 $[y, y+\mathrm{d} y]$, 相应于该典型小区间的功的微元为
$$
\mathrm{d} W=\rho g \pi x^2 \mathrm{~d} y \cdot(a-y)=\rho g \pi a y(a-y) \mathrm{d} y=\rho g \pi a\left(a y-y^2\right) \mathrm{d} y .
$$
于是, 所求功为
$$
W=\int_0^a \rho g \pi a\left(a y-y^2\right) \mathrm{d} y=\left.\rho g \pi a\left(\frac{1}{2} a y^2-\frac{1}{3} y^3\right)\right|_0 ^a=\frac{1}{6} \rho g \pi a^4 \text { (焦耳). }
$$

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