第十六届全国大学生数学竞赛河南赛区复赛试题非数学B类及参考答案

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第十六届全国大学生数学竞赛河南赛区复赛试题非数学B类及参考答案

一、填空题（共 5 题），请把答案直接填写在答题纸上

1. 曲线

x^{2} + x y + y^{2} = 3

在点

(1, 1)

处的曲率半径

R

为

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\int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + x^{4})} d x =

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lim_{n \to + \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{\sqrt{k}}{n \sqrt{n + \frac{1}{k}}} =

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\int_{0}^{1} d y \int_{y}^{1} (\frac{e^{x^{2}}}{x} - e^{y^{2}}) d x =

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5. 设

f (x, y)

在点

(0, 0)

处可微，且

f (0, 0) = 0, f_{x}^{'} (0, 0) = 1, f_{y}^{'} (0, 0)

= 2

，则

lim_{x \to 0} [1 + f (x, 2 x)]^{\frac{1}{x}} =

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二、解答题（共 7 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

6. 求

lim_{x \to 0} \frac{e^{(1 + x)^{\frac{1}{x}}} - (1 + x)^{\frac{e}{x}}}{x^{2}}

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7. 设

z = z (x, y)

是由方程

f (x - y, y - z, z - x) = 0

确定，其中

f

具有二阶连续偏导数，证明:

\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = 2 \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}

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8. 设函数

f

具有二阶连续偏导数，且

\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = 0, f (x, x) = x, f_{x}^{'} (x, x) = x^{3} .

求二重积分

I = \iint_{D} (f_{x x}^{''} (x, x) - f_{y y}^{''} (x, x)) e^{- y^{2}} d x d y

，其中

D

是由直线

x = 0, y = 1

以及

y = x

围成的有界区域.

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9. 设

y = f (x)

是

y^{''} + y^{'} - y = 2 \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{x^{2 k}}{(2 k)!}

的解，且

lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x} = 2

，计算

\int_{0}^{1} d y \int_{y}^{1} f (x^{2}) d x

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10. 设曲线

y = \frac{1}{1 + 4 \cos^{2} x}

与直线

x = 0, x = 4 π

以及

x

轴所围成区域为

D

，求

D

绕

y

轴旋转一周所得旋转体的体积.

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11. 设二元函数

f (x, y)

与

g (x, y)

满足条件:

g (0, 0) = 0

，

f (x, y) = y + 2 \int_{0}^{x} f (x - t, y) d t, \frac{\partial g (x, y)}{\partial x} = 1, \frac{\partial g (x, y)}{\partial y} = - 1

(1) 求二元函数

f (x, y)

与

g (x, y)

的表达式.
(2) 求

lim_{n \to + \infty} {[\frac{f (\frac{1}{n}, n)}{g (n, 1)}]}^{n}

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12. 已知

f (x)

在

[0, 1]

上连续，在

(0, 1)

内四阶可导，且满足:

f^{'} (\frac{1}{2}) = f^{''} (\frac{1}{2}) = f^{'''} (\frac{1}{2}) = 0, f^{(4)} (\frac{1}{2}) > 0, f (0) = f (1) < f (\frac{1}{2}) .

证明:
(1)

f (\frac{1}{2})

是极小值.
(2) 存在

ξ_{1}, ξ_{2} \in (0, 1)

，使得

f^{'} (ξ_{1}) + f^{'} (ξ_{2}) = 0

.
(3)

f^{''} (x)

在

(0, 1)

内至少有 3 个不同的零点.

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