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设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $f(x-y, y-z, z-x)=0$ 确定，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，证明: $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=2 \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$.
                        
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