概率论与数理统计基础训练（多维随机变量与分布）

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概率论与数理统计基础训练（多维随机变量与分布）

一、单选题（共 12 题），每题只有一个选项正确

1. 设随机变量

X_{i} \sim (\begin{array}{ccc} - 1 & 0 & 1 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \end{array}) (i = 1, 2)

, 且满足

P {X_{1} X_{2} = 0} = 1

, 则

P {X_{1} =

X_{2}}

等于

A.

B.

\frac{1}{4}

C.

\frac{1}{2}

D.

1 .

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2. 二维随机变量

(X, Y)

的概率分布为

已知随机事件

{X = 0}

与

{X + Y = 1}

相互独立, 则

A.

a = 0.2, b = 0.3

B.

a = 0.4, b = 0.1

C.

a = 0.3, b = 0.2

D.

a = 0.1, b = 0.4

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3. 设随机变量

X_{i} \sim [\begin{array}{ccc} - 1 & 0 & 1 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \end{array}] (i = 1, 2)

且满足条件

P {X_{1} + X_{2} = 0} = 1

, 则

P {X_{1} = X_{2}}

等于

A.

0 .

B.

\frac{1}{4}

C.

\frac{1}{2}

D.

1 .

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4. 设随机变量

X

与

Y

相互独立, 且都服从区间

(0, 1)

上的均匀分布, 则

P {X^{2} + Y^{2}

⩽ 1} =

A.

\frac{1}{4}

B.

\frac{1}{2}

C.

\frac{π}{8}

D.

\frac{π}{4}

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5. 设随机变量

(X, Y)

服从二维正态分布

N (0, 0; 1, 4; - \frac{1}{2})

, 下列随机变量中服从标准正态分布且与

X

独立的是

A.

\frac{\sqrt{5}}{5} (X + Y)

B.

\frac{\sqrt{5}}{5} (X - Y)

C.

\frac{\sqrt{3}}{3} (X + Y)

D.

\frac{\sqrt{3}}{3} (X - Y)

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6. 设

X, Y

相互独立, 它们的分布函数分别为

F_{X} (x), F_{Y} (y)

, 则

Z = min {X, Y}

的分布函数为

A.

F_{z} (z) = F_{X} (z)

B.

F_{Z} (z) = F_{Y} (z)

C.

F_{Z} (z) = min {F_{X} (z), F_{Y} (z)}

D.

F_{Z} (z) = 1 - [1 - F_{X} (z)] 1 - F_{Y} (z)]

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7. 设相互独立的两随机变量

X

和

Y

均服从

E (1)

, 则

P {1 < min (X, Y) ⩽ 2}

的值为

A.

e^{- 1} - e^{- 2}

B.

1 - e^{- 1}

C.

1 - e^{- 2}

D.

e^{- 2} - e^{- 4}

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8. 已知随机变量

X

与

Y

相互独立且都服从正态分布

N (μ, \frac{1}{2})

, 如果

P {X + Y \leq 1} = \frac{1}{2}

, 则

μ

等于

A.

-1 .

B.

0 .

C.

\frac{1}{2}

D.

1 .

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9. 设

X

和

Y

相互独立都服从

[0, 1]

上的均匀分布, 则服从区间或区域上均匀分布的随机变量是

A.

(X, Y)

B.

X^{2}

C.

X - Y

D.

X + Y

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10. 设随机变量

X

和

Y

的联合概率密度为

f (x, y) = {\begin{cases} e^{- (x + y)}, & x > 0, y > 0, \\ 0, & 其他 \end{cases}

则

Z = \frac{X + Y}{2}

的概率密度为

A.

f_{Z} (z) = {\begin{cases} \frac{1}{2} e^{- (x + y)}, & x > 0, y > 0, \\ 0, & 其他. \end{cases}

B.

f_{Z} (z) = {\begin{cases} e^{- \frac{x + y}{2}}, & x > 0, y > 0, \\ 0, & 其他. \end{cases}

C.

f_{Z} (z) = {\begin{cases} 4 z e^{- 2 z}, & z > 0, \\ 0, & z ⩽ 0 . \end{cases}

D.

f_{z} (z) = {\begin{cases} \frac{1}{2} e^{- z}, & z > 0, \\ 0, & z \neq 0 . \end{cases}

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11. 假设随机变量

X

与

Y

相互独立且都服从参数为

λ

的指数分布, 则下列变量中服从参数为

2 λ

的指数分布的是

A.

X + Y

B.

X - Y

C.

max (X, Y)

D.

min (X, Y)

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12. 设随机变量

X

与

Y

相互独立, 且

X

服从标准正态分布

N (0, 1), Y

的概率分布为

P {Y = 0} = P {Y = 1} = \frac{1}{2}

, 记

F_{Z} (z)

为随机变量

Z = X Y

的分布函数, 则函数

F_{Z} (z)

的间断点个数为

A.

0 .

B.

1 .

C.

2 .

D.

3 .

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