设随机变量 $X$ 和 $Y$ 的联合概率密度为 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} e ^{-(x+y)}, & x>0, y>0, \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}\right.$ 则 $Z=\frac{X+Y}{2}$ 的概率密度为
A. $f_Z(z)= \begin{cases}\frac{1}{2} e ^{-(x+y)}, & x>0, y>0, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}$
B. $f_Z(z)= \begin{cases} e ^{-\frac{x+y}{2}}, & x>0, y>0, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}$
C. $f_Z(z)= \begin{cases}4 z e ^{-2 z}, & z>0, \\ 0, & z \leqslant 0 .\end{cases}$
D. $f_z(z)= \begin{cases}\frac{1}{2} e ^{-z}, & z>0, \\ 0, & z \neq 0 .\end{cases}$