单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
已知 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{(x-a)^2}=-1$, 则在 $x=a$ 处
$\text{A.}$ $f(x)$ 可导, 且 $f^{\prime}(a) \neq 0$.
$\text{B.}$ $f(x)$ 取极大值.
$\text{C.}$ $f(x)$ 取极小值.
$\text{D.}$ $f(x)$ 导数不存在.
下列广义积分收敛的是
$\text{A.}$ $\int_0^1 \ln x \mathrm{~d} x$
$\text{B.}$ $\int_{-1}^1 \frac{1}{x} \mathrm{~d} x$
$\text{C.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}}$
$\text{D.}$ $\int_2^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \ln x}$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{x^2} \sin t^2 \mathrm{~d} t}{x^6}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $1$
设在 $[0,1)$ 上 $f(x)$ 二阶可导，且 $f^{\prime \prime}(x)>0$ ，则
$\text{A.}$ $f^{\prime}(0) < f^{\prime}(1) < f(1)-f(0)$
$\text{B.}$ $ f^{\prime}(0) < f(1)-f(0) < f^{\prime}(1)$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(1) < f^{\prime}(0) < f(1)-f(0)$
$\text{D.}$ $f(1)-f(0) < f^{\prime}(1) < f^{\prime}(0)$
微分方程 $x y^{\prime}-y \ln y=0$ 的通解是
$\text{A.}$ $y=e^{c x}$
$\text{B.}$ $y=c x$
$\text{C.}$ $y=e^x+c$
$\text{D.}$ $y=e^x+c x$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(x)$ 的原函数为 $\frac{\ln x}{x}$ ，则 $\int f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=$
已知 $f^{\prime}\left(x_0\right)=-2$, 则 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+3 \Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}=$.
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{lc}(1-x)^{\frac{1}{x}}, & x \neq 0 \\ a, & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续, 则 $a=$
$\int_{-1}^1\left(\sqrt{1-x^2}+\sin ^3 x\right) \mathrm{d} x=$
当 $x \rightarrow 0$ 时, $\left(1+a x^2\right)^{\dfrac{1}{3}}-1$ 与 $1-\cos x$ 是等价无穷小, 则 $a=$
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $y=\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)+\arctan \frac{1}{x}+e^2$, 求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$.
计算 $\int_0^{\ln 2} \sqrt{e^x-1} \mathrm{~d} x$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{e^x}{x}-\frac{1}{e^x-1}\right)$.
求函数 $y=\frac{2 x}{1+x^2}$ 的极值与拐点.
设参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\ln \left(1+t^2\right) \\ y=t-\arctan t\end{array}\right.$ , 求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}$.
已知 $y=y(x)$ 是由方程 $\sin y+x e^y=0$ 确定的隐函数, 求 $\mathrm{dy}$.
求微分方䅣 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}=e^{2 x}$ 的通解.
求曲线 $y=\ln x(2 \leq x \leq 6)$ 的一切线，使得该切线与直线 $x=2 ， x=6$ 及曲线 $y=\ln x$ 围成 图形面积 $A$ 最小。
证明 $x>0$ 时, $\ln (1+x)>x-\frac{1}{2} x^2$.
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导，且 $f(1)=\int_0^1 x f(x) \mathrm{d} x$ ，证明在 $(0,1)$ 内至少存在一点 $\xi$ 使 $\xi f^{\prime}(\xi)+f(\xi)=0$