单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\mathrm{A}$ 与 $\mathrm{B}$ 均为三阶矩阵, $k>0$ 则下式成立的是
$\text{A.}$ $|k A|=k|A|$
$\text{B.}$ $(k A)^{-1}=k A^{-1}$
$\text{C.}$ $|A B|=|A||B|$
$\text{D.}$ $|A+B|=|A|+|B|$
设 $\mathrm{A}$ 为 2 阶可逆矩阵, 且 $(2 A)^{-1}=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right]$, 则 $\mathrm{A}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right]^{-1}$
$\text{B.}$ $2\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right]^{-1}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right]$
$\text{D.}$ $2\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right]$
设 $A=\left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 5 & 2\end{array}\right]$, 则 $\left|A^*\right|=$
$\text{A.}$ -17
$\text{B.}$ 17
$\text{C.}$ 13
$\text{D.}$ -13
向量组 $\mu_1=\left[\begin{array}{l}a \\ 1 \\ 1\end{array}\right], \mu_2=\left[\begin{array}{l}1 \\ a \\ 1\end{array}\right], \mu_3=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ a\end{array}\right]$, 则该向量组
$\text{A.}$ 线性相关
$\text{B.}$ 当 $a \neq 1$ 且 $a \neq-2$ 时线性无关
$\text{C.}$ 线性无关
$\text{D.}$ 当 $a \neq 1$ 时线性无关
设 $\eta_1, \eta_2, \eta_3$ 为三元线性方程组 $A X=b$ 的解向量, $\mathrm{A}$ 的秩为 $2, \eta_1+\eta_2=(2,0,4)^T$, $\eta_2+\eta_3=(1,-2,1)^T$, 则对任意常数 $\mathrm{k}, A X=b$ 的通解为
$\text{A.}$ $(1,0,2)^T+k(1,2,3)^T$
$\text{B.}$ $(2,0,4)^T+k(1,-2,1)^T$
$\text{C.}$ $(1,-2,1)^T+k(2,0,4)^T$
$\text{D.}$ $(1,0,2)^T+k(1,-2,1)^T$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
二次型的 $f=x_1{ }^2+x_2{ }^2+x_3{ }^2+2 x_1 x_2+4 x_1 x_3$ 的矩阵为
设三阶矩阵 $\mathrm{A}$ 与 $\mathrm{B}$ 相似, 且 $\mathrm{A}$ 的特征值为 $2,2,3$, 则 $\left|B^{-1}\right|=$
设 $\mathrm{A}$ 为 3 阶矩阵, 且 $|-2 A|=2$, 则 $|A|=$
向量组 $\alpha_1=(1,-1,0)^T, \alpha_2=(2,4,1)^T, \alpha_3=(1,5,1)^T$ 的秩为
设方程组 $\left\{\begin{array}{c}3 x_1+k x_2-x_3=0 \\ 4 x_2-x_3=0 \\ 4 x_2+k x_3=0\end{array}\right.$ 有非零解, 则 $\mathrm{k}=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $A=\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right]$, 矩阵 $\mathrm{X}$, 使 $A X=A+2 E$
计算行列式 $ \left|\begin{array}{llll}
2 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 2
\end{array}\right| $ 的值
已知二次型 $f=x_1^2+x_2^2+3 x_3^2-2 x_1 x_2$, 求:
(1) 二次型对应矩阵 $\mathrm{A}$ 的特征值
(2) 求正交矩阵 $P$,及在正交变换下二次型的标准型
求线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}-x_1+x_2+2 x_3=1 \\ x_1-x_2+x_3=2 \\ 5 x_1-5 x_2-4 x_3=1\end{array}\right.$ 的通解
已知向量组 $\alpha_1=\left[\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right], \alpha_2=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right], \alpha_3=\left[\begin{array}{c}3 \\ 4 \\ 3 \\ -1\end{array}\right], \alpha_4=\left[\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 2 \\ 1\end{array}\right]$, 求向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 的一个 极大无关组，并把其余向量用此极大无关组表示出来
设 $\mathrm{A}$ 为满足等式 $A^2-3 A+2 E=0$ 的矩阵, 证明 $\mathrm{A}$ 可逆, 并求 $A^{-1}$