题号:2369    题型:解答题    来源:太原理工大学线性代数2019-2020学年第二学期期末考试B卷
类型:模拟考试
已知向量组 $\alpha_1=\left[\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right], \alpha_2=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right], \alpha_3=\left[\begin{array}{c}3 \\ 4 \\ 3 \\ -1\end{array}\right], \alpha_4=\left[\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 2 \\ 1\end{array}\right]$, 求向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 的一个 极大无关组,并把其余向量用此极大无关组表示出来
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答案:
$\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\right)=\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & 3 & 2 \\ -1 & 1 & -1 & 1\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \Longrightarrow r\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\right)=3$ 而 $r\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4\right)=r\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ -1 & 1 & 1\end{array}\right)=r\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)=3$, 因此向量组的一个极大无关组为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$

设 $\alpha_3=k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+k_3 \alpha_4$, 代入已知向量求得 $k_1=2, k_2=1, k_3=0$, 因此 $\alpha_3=2 \alpha_1+\alpha_2$

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