单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
下列函数在其定义域内有界的是
$\text{A.}$ $\frac{\sin x}{x}$
$\text{B.}$ $\tan x$
$\text{C.}$ $\frac{\ln x}{x}$
$\text{D.}$ $x e^{-x}$
设数列 $\left\{\mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right\}$ 与 $\{\mathrm{y_n}\}$ 满足 $\lim _{\mathrm{n} \rightarrow \infty} x_n y_n=0$, 则下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若 $\left\{x_n\right\}$ 发散, 则 $\left\{y_n\right\}$ 必发散
$\text{B.}$ 若 $\left\{x_n\right\}$ 收敛, 则 $\left\{y_n\right\}$ 必收敛
$\text{C.}$ 若 $\left\{\mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right\}$ 有界,则 $\left\{\mathrm{y}_{\mathrm{n}}\right\}$ 必为无穷小
$\text{D.}$ 若 $\left\{\frac{1}{\mathrm{x}_{\mathrm{n}}}\right\}$ 有界,则 $\left\{\mathrm{y}_{\mathrm{n}}\right\}$ 必为无穷小
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续, 其导函数图形如图所示, 则 $f(x)$ 的极值点的个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
关于函数 $y=x \ln x, x$ 定义域为 $(0,+\infty)$, 以下描述不正确的是
$\text{A.}$ 在区间 $\left(0, \mathrm{e}^{-1}\right)$ 单调递减
$\text{B.}$ 在 $\mathrm{x}=\mathrm{e}^{-1}$ 处取最小值
$\text{C.}$ $\left(e^{-1},-e^{-1}\right)$ 是曲线 $y=x \ln x$ 的拐点
$\text{D.}$ 曲线 $y=x \ln x$ 无渐近线
若函数 $f(x)$ 在原点连续, $F(x)=f(x)|\sin x|$, 则 $f(0)=0$ 是 $F^{\prime}(0)$ 存在的
$\text{A.}$ 充要条件
$\text{B.}$ 充分但非必要条件
$\text{C.}$ 必要但非充分条件
$\text{D.}$ 既非充分也非必要条件
若函数 $f(x)=2^{\frac{1}{x}}+\arctan \frac{x|x|}{(x-1)(x-2)}$ 下面哪一条直线不是此函数的渐近线
$\text{A.}$ $x=0$
$\text{B.}$ $y=1-\frac{\pi}{4}$
$\text{C.}$ $x=2$
$\text{D.}$ $y=1+\frac{\pi}{4}$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $y=e^{f\left(\frac{1}{x}\right)}, f$ 为可微函数, 则 $d y=$
已知 $f^{\prime}(1)=8$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(1-x^2\right)-f(1)}{1-\cos x}=$
设 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\left\{\begin{array}{cl}\mathrm{e}^{\mathrm{x}}(\sin \mathrm{x}+\cos \mathrm{x}) & \mathrm{x} \geq 0 \\ \operatorname{b \arctan} \frac{1}{\mathrm{x}} & \mathrm{x} < 0\end{array}\right.$ 是连续函数, 则 $\mathrm{b}=$
设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续,求 $\frac{d}{d x} \int_0^x t f\left(t^2-x^2\right) d t $
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 是由方程 $e^{2 x+y}-\cos (x y)=e-1$ 所确定的隐函数, 求导 数 $\left.\frac{d y}{d x}\right|_{x=0}$
设 $\left\{\begin{array}{c}x=\arccos t \\ y=t-\arcsin t\end{array}\right.$, 求 $\frac{d y}{d x}, \frac{d^2 y}{d x^2}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{x^2}(1-\sin 2 t)^{\frac{1}{t}} d t}{\left(e^x-1\right) \ln (1+x)}$.
计算 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{x-\sin x}{1+\cos x} d x$
设 $f(x)$ 的二阶导函数连续, 且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)+\cos x}{x^2}=1$, 求 $f(0), f^{\prime}(0), f^{\prime \prime}(0)$.
计算广义积分 $\int_0^1 \frac{x d x}{\left(3+x^2\right) \sqrt{1-x^2}}$
设曲线 $x=y^2(y>0), x=2-y^2(y>0)$ 及 $y=0$ 围成一平面图形 D.
(1) 求平面图形 D 的面积;
(2) 求平面图形 D 绕 $y$ 轴旋转一周而成的立体的体积
求函数 $f(x)=\int_0^x(t-1)(t-2)^2 d t$ 的极值和它所表示的曲线的拐点的横坐 标.
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1$, 且 $f^{\prime \prime}(x)>0$, 证明当 $x \neq 0$ 时, $f(x)>x$.
已知 $f(x)$ 在 $[0, a]$ 上有连续的导函数, 且 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leq M$, 证明
$$
\left|\int_0^a f(x) d x-a f(a)\right| \leq \frac{M a^2}{2} .
$$