【34779】 【 周民强-常数项级数】 证明题 判别下列级数 $I=\sum_{n=1} a_n$ 的敛散性： （1）$a_n=\left(\frac{1}{n}-\sin \frac{1}{n}\right)^p(p>0)$ ． （2）$a_n=\left(\mathrm{e}^{1 / n}-\sin \frac{1}{n}\right)^{n^p}-1$ ．

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【34778】 【 周民强-常数项级数】 证明题 判别下列级数 $I=\sum_{n=1} a_n$ 的敛散性： （1）$a_n=\frac{1}{n^{1+1 / n}}$ ． （2）$a_n=\frac{\sqrt[n]{2}-1}{n^p}$ ． （3）$a_n=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n^p}$ ．

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【34777】 【 周民强-常数项级数】 证明题 试证明下列命题： （1）设 $0<a_n<1(n=1,2, \cdots)$ ，若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1-a_n\right)$ 收敛。 （2）设 $\left\{a_n\right\}$ 是递减正数列，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=a=0$ 当且仅当 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-a_{n+1} / a_n\right)$ 发散．

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【34776】 【 周民强-常数项级数】 证明题 设 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $0<a_n \leqslant a_{2 n}+a_{2 n+1}(n=1,2, \cdots)$ ，试证明 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散。

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【34775】 【 周民强-常数项级数】 证明题 解答下列问题： （1）求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \sin \frac{\pi}{n+k}$ 之值。 （2）求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^{-1}$ 之值。

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【34774】 【 周民强-常数项级数】 证明题 试证明下列命题： （1）设级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n / n\right)$ 收敛，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k=0$ 。 （2）设 $a_n>0(n \in \mathbf{N})$ ．若 $\sum_{n=1}^{\infty} 1 / a_n$ 收敛，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k=+\infty$ ．

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【34773】 【 周民强-常数项级数】 证明题 试证明下列命题： （1）设 $f(x)$ 在 $[1, \infty)$ 上可微，且 $f^{\prime}(x)$ 在 $[1, \infty)$ 上递增．若 $f(x) \rightarrow l(x \rightarrow +\infty)$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} f^{\prime}(n)$ 收敛。 （2）设 $a_n>0(n \in \mathbf{N})$ 。若 $\sum_{k=1}^n a_k / n \geqslant \sum_{k=n+1}^{2 n} a_k$ ，则 $I=\sum_{n=1}^{\infty} a_n \leqslant 2 a_1 \mathrm{e}$ 。

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【34772】 【 周民强-常数项级数】 证明题 求级数 $\frac{a}{1-a^2}+\frac{a^2}{1-a^4}+\frac{a^4}{1-a^8}+\cdots$ 之和．

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【34771】 【 周民强-常数项级数】 证明题 试证明下列级数的发散性（用必要条件）： （1）$I=\sum_{n=1}^{\infty}\left(n^2+2\right) \ln \left(\frac{n^2+1}{n^2}\right)$ ． （2）$I=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2 n^2-3}{2 n^2+1}\right)^{n^2}$ ． （3）$I=\sum_{n=1}^{\infty} \cos (n \alpha)$ ． （4）$I=\sum_{n=1}^{\infty}(\cos n)^n$ ．

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【34770】 【 周民强-常数项级数】 证明题 给定 $k(k \geqslant 2)$ 值，试证明级数 $$ \sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{(n-1) k+1}+\frac{1}{(n-1) k+2}+\cdots+\frac{1}{n k-1}-\frac{x}{n k}\right] $$ 只在唯一的 $x$ 点上收敛，求此点及级数的和．

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