【25357】 【 谢惠民数学分析习题《数列收敛的性质》2003版】 解答题 设 $S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n},n\in N_{+}$，证明数列 $\left\{S_n\right\}$ 发散．

---

【25356】 【 谢惠民数学分析习题《数列收敛的性质》2003版】 解答题 根据无穷大量的定义证明 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n^3+n-7}{n+3}=+\mathrm{\infty }$ ．

---

【25355】 【 谢惠民数学分析习题《数列收敛的性质》2003版】 解答题 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的极限，其中 $a_n=\frac{1!+2!+\cdots +n!}{n!},n\in N_{+}$．

---

【25354】 【 谢惠民数学分析习题《数列收敛的性质》2003版】 解答题 设 $a>0,b>0$ ，求极限 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(a^n+b^n)}^{\frac{1}{n}}$ ．

---

【25353】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》开集、闭集与Borel集】 解答题 设 $f:R^1\to R$ 为可导函数．证明： $f^{\prime }$ 为连续函数 $\iff$ 对 $\mathrm{\forall }t\in R$ ，点集 $\{x\in R^1\mid f^{\prime }(x)=t\}$ 为闭集．

---

【25352】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》开集、闭集与Borel集】 解答题 设 $f:R^1\to R$ 为实函数．证明： $f$ 为连续函数 $\iff$ 对 $\mathrm{\forall }t\in R$ ，点集 $\{x\mid f(x)⩽t\}$ 与 $\{x\mid f(x)⩾t\}$ 都为闭集．

---

【25351】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》开集、闭集与Borel集】 解答题 证明：$F\subset R^n$ 为有界闭集 $\iff$ 对 $F$ 的任何无限子集 $E$ ，必有 $E^{\prime }\cap F\ne \varnothing$ ．

---

【25350】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》开集、闭集与Borel集】 解答题 证明： $R^n$ 中每个闭集为 $G_{\delta }$ 集；每个开集为 $F_{\sigma }$ 集．

---

【25349】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》开集、闭集与Borel集】 解答题 设 $E\subset R^n$ 为孤立点集，证明：$E$ 为至多可数集．

---

【25348】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》开集、闭集与Borel集】 解答题 （1）设 $E_i\subset R^n,i=1,2,\cdots ,k$ ．证明： 第1章 集合运算，集合的势，集类 35 $$\bigcup _{i=1}^k{E}_i^{\prime }={\left(\bigcup _{i=1}^k{E}_i\right)}^{\prime };\bigcup _{i=1}^k{\overline{E}}_i=\overline{\bigcup _{i=1}^k{E}_i}$$ （2）设 $E_i\subset R^n,i=1,2,\cdots$ ．证明： $$\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_i^{\prime }\subset {\left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_i\right)}^{\prime };\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\overline{E}}_i\subset \overline{\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_i}$$ 进而是否有 $$\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_i^{\prime }={\left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_i\right)}^{\prime }?\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\overline{E}}_i=\overline{\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_i}?$$

---

... 51 52 53 54 55  ...