【34769】 【 周民强-常数项级数】 证明题 试证明下列命题： （1）设 $a>0, b>a+1$ ，则 $I=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a(a+1) \cdots(a+n-1)}{b(b+1) \cdots(b+n-1)}=\frac{a}{b-a-1}$ ．

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【34768】 【 周民强-常数项级数】 解答题 求下列级数 $I=\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 的和： (1) $a_n=3^{n-1} \cdot \sin ^3\left(\frac{\theta}{3^n}\right)$. (2) $a_n=\frac{1}{2^n} \tan \frac{\theta}{2^n}(\theta \neq 0)$.

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【34767】 【 周民强-常数项级数】 证明题 求下列级数 $I=\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 的和： (1) $a_n=\sin \frac{1}{2^n} \cdot \cos \frac{3}{2^n}$. (2) $a_n=\arctan \frac{1}{2 n^2}$.

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【34766】 【 周民强-常数项级数】 证明题 计算 $I=\sum_{n=1} \frac{3 n-1}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}$.

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【34765】 【 周民强-常数项级数】 证明题 计算 $I=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n-\sqrt{n^2-1}}{\sqrt{n(n+1)}}$.

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【34764】 【 福建省福州市第四中学2024-2025学年第一学期八年级12月适应性练习】 解答题 如图，在 $\mathrm{Rt} \triangle A B C$ 中，过点 $B$ 作 $\angle B A C$ 的平分线的垂线，垂足为 $D, B D=A C$ [img=/uploads/2025-12/726ada.jpg][/img] （1）求证：$\angle E B A=\angle E A C$ ； （2）在射线 $A C$ 上取一点 $F$ ，以 $B F$ 为边，在 $B F$ 的上方作等边三角形 $B F G$ ，过点 $A$ 作直线 $l \| B D$ ． ① 试说明点 $G$ 与直线 $l$ 的位置关系； ② 若 $B D=2$ ，求 $2 C G+A F$ 的最小值．

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【34763】 【 福建省福州市第四中学2024-2025学年第一学期八年级12月适应性练习】 解答题 阅读理解： 材料 1：为了研究分式 $\frac{1}{x}$ 与其分母 $x$ 的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： [img=/uploads/2025-12/eb95ac.jpg][/img] 从表格数据观察，当 $x>0$ 时，随着 $x$ 的增大，$\frac{1}{x}$ 的值随之减小，若 $x$ 无限增大，则 $\frac{1}{x}$ 无限接近于 0 ；当 $x<0$时，随着 $x$ 的增大，$\frac{1}{x}$ 的值也随之减小． 材料 2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式。任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如：$\frac{2 x+1}{x-2}=\frac{2 x-4+4+1}{x-2}=\frac{2(x-2)+5}{x-2}=\frac{2(x-2)}{x-2}+\frac{5}{x-2}=2+\frac{5}{x-2}$ ； 根据上述材料完成下列问题： （1）当 $x>0$ 时，随着 $x$ 的增大， $2+\frac{1}{x}$ 的值 $\_\_\_\_$ （增大或减小）；当 $x<0$ 时，随着 $x$ 的增大，$\frac{3 x+1}{x}$ 的值． （增大或减小）； （2）当 $x>-3$ 时，随着 $x$ 的增大，$\frac{2 x+8}{x+3}$ 的值无限接近一个数，请求出这个数； （3）如果分式 $\frac{2 x^2-1}{x-1}$ 的值为整数，求 $x$ 的整数值； （4）当 $0<x<1$ 时，直接写出代数式 $\frac{3 x-4}{x-2}$ 值的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

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【34762】 【 福建省福州市第四中学2024-2025学年第一学期八年级12月适应性练习】 解答题 已知三条线段 $a=4 m n, b=2 m^2+2 n^2, c=(m-n)^2(m n>0$ ，且 $m \neq n)$ ． （1）证明：线段 $b$ 是这三条线段中最长的线段； （2）请说明是否能以这三条线段长为边构造三角形．

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【34761】 【 福建省福州市第四中学2024-2025学年第一学期八年级12月适应性练习】 解答题 阅读材料：课本第53页数学活动中介绍一种新的几何图形——“筝形”．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 我们研究一种新几何图形的一般过程：先学习定义，再研究性质和判定．而性质的研究，其实就是对图形边，角，对角线等基本要素的研究．八年级某班按照这样的思路对“筝形”的性质开展研究： 第一步：根据定义剪出一个“筝形”； 第二步：用测量、折纸等方法猜想“筝形”边，角，对角形的结论； 第三步：通过证明得到性质． [img=/uploads/2025-12/b68c2c.jpg][/img] 解答问题： （1）猜想“筝形”的对角线有怎样的结论？请写出来． （2）请画出图形，写出已知，求证并证明得到对角线的性质． （3）从性质进一步探究可得到“筝形”的面积公式，请直接写出“筝形”的面积公式．

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【34760】 【 福建省福州市第四中学2024-2025学年第一学期八年级12月适应性练习】 解答题 如图，在 $\triangle A B C$ 中，$\angle C A D$ 为 $\triangle A B C$ 的外角． （1）尺规作图：作 $\angle C A D$ 的平分线 $A E$（保留作图痕迹可加黑，不写作法）； （2）若 $A B=A C$ ，在（1）的条件下，求证：$A E / / B C$ ． [img=/uploads/2025-12/aa1813.jpg][/img]

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