【25205】 【 俞正光编著线性代数同步辅导2003版(线性空间)】 解答题 设 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3$ 是线性空间 $V^3$ 的一组基又 $$\{\begin{array}{l}{\xi }_1={\epsilon }_1+{\epsilon }_3\\ {\xi }_2={\epsilon }_2\\ {\xi }_3={\epsilon }_1+2{\epsilon }_2+2{\epsilon }_3\end{array}\{\begin{array}{l}{\eta }_1={\epsilon }_1\\ {\eta }_2={\epsilon }_1+{\epsilon }_2\\ {\eta }_3={\epsilon }_1+{\epsilon }_2+{\epsilon }_3\end{array}$$ （1）试证 ${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3$ 及 ${\eta }_1,{\eta }_2,{\eta }_3$ 都是 $V^3$ 的一组基． （2）求由基 ${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3$ 到基 ${\eta }_1,{\eta }_2,{\eta }_3$ 的过渡矩阵．

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【25204】 【 俞正光编著线性代数同步辅导2003版(线性空间)】 解答题 定义在实数域上次数 $<3$ 的多项式空间 $P[x{]}_3$ 中，试证：$f_1=$ $1,f_2=x-1,f_3=(x-2)(x-1)$ 是 $P[x{]}_3$ 的一组基，并求向量 $f=3x^2-7x$ ． +6 在 $f_1,f_2,f_3$ 下的坐标列向量．

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【25203】 【 俞正光编著线性代数同步辅导2003版(线性空间)】 解答题 设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 是线性空间 $V^n$ 的一组基，又向量组 ${\beta }_1$ ， ${\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n$ 由向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 表出的关系是 $$({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)\cdot C$$ 则 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n$ 也是 $V^n$ 的一组基的充分必要条件为矩阵 $C$ 可逆。

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【25202】 【 俞正光编著线性代数同步辅导2003版(线性空间)】 解答题 设 $V$ 是实数域上全体函数对于函数的加法与数乘函数的运算所构成的线性空间，试证：向量组：$f(x)=e^{2x},g(x)=x^2,h(x)=x$ 线性无关。

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【25201】 【 俞正光编著线性代数同步辅导2003版(正定二次型)】 解答题 设 $A$ 为 $n$ 阶实对称正定矩阵，$X$ 为任意 $n$ 维向量，证明 $\left|\begin{array}{cc}0& X^T\\ X& A\end{array}\right|$ 是负定二次型。

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【25200】 【 俞正光编著线性代数同步辅导2003版(正定二次型)】 解答题 设 $A$ 为 $n$ 阶实对称正定矩阵，证明存在上三角矩阵 $R$ ，使得 $A=R^{T}R$ ．

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【25199】 【 俞正光编著线性代数同步辅导2003版(正定二次型)】 解答题 设 $A$ 是 $m\times n$ 的实矩阵，$m<n$ ．证明 $A{A}^T$ 正定的充分必要条件是 $r(A)=m$ 。

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【25198】 【 俞正光编著线性代数同步辅导2003版(正定二次型)】 解答题 设 $A$ 是 $n$ 阶实对称正定矩阵，若 $A-I$ 正定，试证明 $I-A^{-1}$ 也正定。

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【25197】 【 俞正光编著线性代数同步辅导2003版(正定二次型)】 解答题 设 $A$ 为实对称矩阵，若 $A^2=I$ ，证明 $A+I$ 是半止定矩阵或正定矩阵。

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【25196】 【 俞正光编著线性代数同步辅导2003版(正定二次型)】 解答题 设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，且 $|A|<0$ ，证明存在非零向量 $x_0$ ，使得 $x_0^{T}A{x}_0<0$ ．

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