【25267】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》集合的势】 解答题 （1）作 $R$ 与 $R-Q$ 之间的一一映射． （2）作 $(0,1]\times (0,1]$ 与 $(0,1]$ 之间的一一映射．

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【25266】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》集合的势】 解答题 设 $A,B,C$ 为集合．证明： （1）若 $A-B\sim B-A$ ，则 $A\sim B$ ． （2）若 $A\subset B$ ，且 $A\sim A\cup C$ ，则 $B\sim B\cup C$ ．

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【25265】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》集合的运算、势与集类】 解答题 设 $\left\{f_n\right\}(n=1,2,\cdots )$ 为定义在 $[a,b]$ 上的实函数列，$E\subset [a,b]$ ，且有 $$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{f}_n(x)={\chi }_{[a,b]-E}(x).$$ 若令 $E_n=\{x\in [a,b]|f_n(x)⩾\frac{1}{2}\}$ ，求集合 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{E}_n$ ．

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【25264】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》集合的运算、势与集类】 解答题 设 $X$ 为固定的集合，$A\subset X,{\chi }_A(x)$ 为集合 $A$ 的特征函数．$A,B,A_{\alpha },A_n$ 都为 $X$ 的子集．证明： （1）$A=X\iff {\chi }_A(x)\equiv 1;A=\varnothing \iff {\chi }_A(x)\equiv 0$ ． （2） $$\begin{array}{rl}& A\subset B\iff {\chi }_A(x)⩽{\chi }_B(x),\mathrm{\forall }x\in X\\ & A=B\iff {\chi }_A(x)={\chi }_B(x),\mathrm{\forall }x\in X\end{array}$$ （3）${\chi }_{\sigma \in F_a}(x)=\underset{\alpha \in \mathrm{\Gamma }}{max}{\chi }_{A_{\alpha }}(x);{\chi }_{\sigma \in C_a}(x)=\underset{\sigma \in \mathrm{\Gamma }}{min}{\chi }_{A_{\alpha }}(x)$ ． （4）设 $A_n(n=1,2,\cdots )$ 为一集列，则 $$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{A}_n\text{ 存在 }\iff \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\chi }_{A_n}(x)\text{ 存在. }$$ $${\chi }_{n\to +\mathrm{\infty }}\underset{n}{lim}(x)=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\chi }_{A_n}(x)$$

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【25263】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》集合的运算、势与集类】 解答题 设 $f:X\to Y,A\subset X,B\subset Y$ ．试问下列等式成立吗？并说明理由． （1）$f^{-1}(Y-B)=f^{-1}(Y)-f^{-1}(B)$ ． （2）$f(X-A)=f(X)-f(A)$ ．

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【25262】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》集合的运算、势与集类】 证明题 设 $\{f_i(x)\}(i=1,2,\cdots )$ 为定义在 $R^n$ 上的实函数列，试用点集 $$\{x\in R^n|f_i(x)⩾\frac{1}{j}\},i,j=1,2,\cdots$$ 表示点集 $\{x\in R^n\mid {\bar{\lim }}_{i\to +\mathrm{\infty }}{f}_i(x)>0\}$ ．

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【25261】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》集合的运算、势与集类】 证明题 设 $\left\{f_n\right\}(n=1,2,\cdots )$ 为 $E$ 上的实函数列，且关于 $n$ 单调增，即 $$f_1(x)⩽f_2(x)⩽\cdots ⩽f_n(x)⩽f_{n+1}(x)⩽\cdots ,\mathrm{\forall }x\in E,$$ 并且 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{f}_n(x)=f(x)$ ．证明：对任何实数 $c$ ，有 (1) $E(f>c)=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}E(f_n>c)=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}E(f_n>c)$. (2) $E(f⩽c)=\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}E(f_n⩽c)=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}E(f_n⩽c)$.

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【25260】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》集合的运算、势与集类】 证明题 设 $f(x)$ 为 $E$ 上的一个实函数，$c$ 为任何实数， $$E(f>c)=\{x\in E\mid f(x)>c\},E(f⩽c)=\{x\in E\mid f(x)⩽c\}$$ 等．证明： （1）$E(f>c)\cup E(f⩽c)=E$ ． （2）$E(f⩾c)=E(f>c)\cup E(f=c)$ ． （3）当 $c⩽d$ 时，$E(f>c)\cap E(f⩽d)=E(c<f⩽d)$ ． （4）当 $c⩾0$ 时，$E(f^2>c)=E(f>\sqrt{c})\cup E(f<-\sqrt{c})$ ． （5）当 $f⩾g$ 时，$E(f>c)\supset E(g>c)$ ． （6）$E(f⩾c)=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}E(c⩽f<c+n)$ ． （7）$E(f<c)=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}E(f⩽c-\frac{1}{n})$ ．

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【25259】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》集合的运算、势与集类】 证明题 设 $A_{2k-1}=(0,\frac{1}{k}),A_{2k}=(0,k),k=1,2,\cdots$ ，求 ${\bar{\lim }}_{n\to +\mathrm{\infty }}{A}_n$ 和 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{A}_n$ ．

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【25258】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》集合的运算、势与集类】 证明题 设 $A,B,E$ 为全集 $X$ 中的子集，证明： $$B=(E\cap A{)}^c\cap (E^c\cup A)\iff B^c=E$$

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