【25257】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》集合的运算、势与集类】 证明题 设 $\left\{A_n\right\}$ 和 $\left\{B_n\right\}(n=1,2,\cdots )$ 为两个集列． （1）证明：$\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(A_n\cap B_n)\subset \left(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\right)\cap \left(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_n\right)$ ． （2）举例说明：$\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(A_n\cap B_n)\not\supset \left(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\right)\cap \left(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_n\right)$ ． （3）如果 $\left\{A_n\right\}$ 和 $\left\{B_n\right\}(n=1,2,\cdots )$ 都是单调增的集列，证明： $$\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(A_n\bigcap B_n)=\left(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\right)\bigcap \left(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_n\right).$$

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【25256】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》集合的运算、势与集类】 证明题 设 $A_{\alpha }(\alpha =1,2,\cdots )$ 为一集列． （1）令 $B_1=A_1,B_n=A_n-\bigcup _{i=1}^{n-1}{A}_i(n⩾2)$ ．证明：$B_n(n=1,2,\cdots )$ 为一个彼此不相交的集列，并且 $$\begin{array}{rl}& \bigcup _{i=1}^n{A}_i=\bigcup _{i=1}^n{B}_i,n=1,2,\cdots \\ & \bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i=\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_i\end{array}$$ （2）如果 $A_n(n=1,2,\cdots )$ 单调减（即 $A_1\supset A_2\supset \cdots \supset A_n\supset \cdots )$ 的集列，证明： $$A_1=(A_1-A_2)\cup (A_2-A_3)\cup \cdots \cup (A_n-A_{n+1})\cup \cdots \cup \left(\bigcap _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\right)$$ 并且其中各项互不相交．

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【25255】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》集合的运算、势与集类】 证明题 证明：de Morgan 公式中的第 1 式 $$X-\bigcup _{a\in \mathrm{\Gamma }}{A}_a=\bigcap _{a\in \mathrm{\Gamma }}(X-A_a)$$

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【25254】 【 初中生《概率统计》专项训练习题训练】 解答题 2021年吉林省普通高中开始施行新高考选科模式，此模式有若干种学科组合，每位高中生可根据自己的实际情况选择一种．一对双胞胎姐妹考入同一所高中且选择了相同组合，该校要将所有选报这种组合的学生分成 $A,B,C$ 三个班，其中每位学生被分到这三个班的机会均等．用画树状图（或列表）的方法，求这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率．

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【25253】 【 初中生《概率统计》专项训练习题训练】 解答题 善于提问是应用人工智能解决问题的重要因素之一．为了解同学们的提问水平，对 $A,B$ 两组同学进行问卷调查，并根据结果对每名同学的提问水平进行评分，得分情况如下（单位：分）： [img=/uploads/2025-03/af259a.jpg][/img] （1）求 $A$ 组同学得分的中位数和众数； （2）现从 $A,B$ 两组得分超过 90 分的 4 名同学中随机抽取 2 名同学参与访谈，求这 2 名同学恰好来自同一组的概率．

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【25252】 【 初中生《概率统计》专项训练习题训练】 解答题 为使学生更加了解云南，热爱家乡，热爱祖国，体验＂有一种叫云南的生活＂。某校七年级年级组准备从博物馆 $a$ ，植物园 $b$ 两个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等；八年级年级组准备从博物馆 $a$ ，植物园 $b$ ，科技馆 $c$ 三个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等．记选择博物馆 $a$ 为 $a$ ，选择植物园 $b$ 为 $b$ ，选择科技馆 $c$ 为 $c$ ，记七年级年级组的选择为 $x$ ，八年级年级组的选择为 $y$ ． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求 $(x,y)$ 所有可能出现的结果总数； （2）求该校七年级年级组，八年级年级组选择的研学基地互不相同的概率 $P$ ．

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【25251】 【 初中生《概率统计》专项训练习题训练】 解答题 广元市开展＂蜀道少年＂选拔活动，旨在让更多的青少年关注蜀道，了解蜀道，热爱蜀道，宣传蜀道，进一步挖掘和传承古蜀道文化，普及蜀道知识．为此某校开展了＂蜀道文化知识竞赛＂活动，并从全校学生中抽取了若干学生的竞赛成绩进行整理，描述和分析（竞赛成绩用 $x$ 表示，总分为 100 分，共分成五个等级： A： $90\le x\le 100$ ；B： $80\le x<90;C:70\le x<80;D:60\le x<70;E:50\le x<60)$ ．并绘制了如下尚不完整的统计图． 抽取学生成绩等级人数统计表 [img=/uploads/2025-03/7f9869.jpg][/img] [img=/uploads/2025-03/e9ed6a.jpg][/img] 其中扇形图中 $C$ 等级区域所对应的扇形的圆心角的度数是 ${120}^{\circ }$ ． （1）样本容量为 $$ ，$m=$ $$ ； （2）全校 1200 名学生中，请估计 $A$ 等级的人数； （3）全校有 5 名学生得满分，七年级 1 人，八年级 2 人，九年级 2 人，从这 5 名学生中任意选择两人在国旗下分享自己与蜀道的故事，请你用画树状图或列表的方法，求这两人来自同一个年级的概率．

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【25250】 【 初中生《概率统计》专项训练习题训练】 解答题 在一只不透明的布袋中，装有质地，大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字 1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出 1 个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜． （1）请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率． （2）这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由．

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【25249】 【 初中生《概率统计》专项训练习题训练】 解答题 某校田径队为了调动队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况对队员进行奖励．为确定一个适当的成绩目标，进行了体育成绩测试，统计了每个队员的成绩，数据如下： [img=/uploads/2025-03/cb6b75.jpg][/img] 整理、描述数据 [img=/uploads/2025-03/755d90.jpg][/img] 分析数据样本数据的平均数、众数、中位数如下表： [img=/uploads/2025-03/f6d6ba.jpg][/img] 解决问题 （1）表格中的 $a=$ $$ ；$b=$ $$ ；$c=$ $$ ； （2）分析平均数，众数，中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩目标应定为 $$分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为 $$分； （3）学校要从 91 分的 $A,B,C,D$ 四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训。请利用画树状图法或列表法，求 $A,B$ 两名队员恰好同时被选中的概率．

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【25248】 【 初中生《概率统计》专项训练习题训练】 解答题 甲，乙，丙三张卡片正面分别写有 $a+b,2a+b,a-b$ ，除正面的代数式不同外，其余均相同。 [img=/uploads/2025-03/8789c7.jpg][/img]

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