【25607】 【 第十六届全国大学生数学竞赛初赛《非数学A类》试题及详细参考解答】 填空题 ${\int }_0^1\ln (1+x^2)dx=$

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【25606】 【 第十六届全国大学生数学竞赛初赛《数学A类》试题及详细参考解答】 解答题 （1）设 $f_1(t)=\frac{t+3}{2},f_2(t)=\frac{t+6}{3},\left\{n_k\right\}$ 为取值于 $\{1,2\}$ 的整数列．令 $F_1(t)=f_{n_1}(t),F_{k+1}(t)=F_k[f_{n_{k+1}}(t)](k\ge 1)$ ．证明：对任何 $x\in R$ ，极限 $\underset{k\to +\mathrm{\infty }}{lim}{F}_k(x)$ 存在且与 $x$ 无关． （2）若题（1）中的 $f_1,f_2$ 改为 $f_1(t)=t-\arctan t,f_2(t)=2\arctan t-t$ ，结论如何？

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【25605】 【 第十六届全国大学生数学竞赛初赛《数学A类》试题及详细参考解答】 解答题 讨论级数 $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n+(-1{)}^{[\sqrt{n}]}},\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}+(-1{)}^{[\sqrt{n}]}}$ 的收敛性，其中 $[x]$ 表示 $x$ 的整数部分。

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【25604】 【 第十六届全国大学生数学竞赛初赛《数学A类》试题及详细参考解答】 解答题 已知实数域 $R$ 上的一元多项式集合 $R[x]$ 在多项式加法和数乘下构成 $R$ 上的一个线性空间．设 $f_i(x)\in R[x]$ 且次数为 $n_i,1\le i\le 2024$ ，规定零多项式的次数为 $-\mathrm{\infty }$ ，已知 $\sum _{i=1}^{2024}{n}_i<2047276$ ，证明：$f_1(x),f_2(x),\cdots ,f_{2024}(x)$为空间 $R[x]$ 中线性相关的向量组．

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【25603】 【 第十六届全国大学生数学竞赛初赛《数学A类》试题及详细参考解答】 解答题 设 $A={\left[a_{ij}\right]}_{3\times 3}$ 为实数域 $R$ 上的 3 阶不可逆方阵．若 $A$ 的伴随矩阵 $A^{\ast }={\left[a_{ij}^2\right]}_{3\times 3}$ ，求 $A$ ．

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【25602】 【 第十六届全国大学生数学竞赛初赛《数学A类》试题及详细参考解答】 解答题 设 $\phi (t)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\ln (1+t{x}^2)}{x(1+x^2)}dx,t\ge 0$ ，求 $\phi (1),\phi (2)$

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【25601】 【 第十六届全国大学生数学竞赛初赛《数学A类》试题及详细参考解答】 解答题 设有双叶双曲面 $S:x^2+y^2-z^2=-2$ ，记以 $M_0(1,1,-1)$ 为顶点且与 $S$ 的上半叶 $S^{+}=\{(x,y,z)\in S\mid z\ge \sqrt{2}\}$ 相切的所有切线构成的锥面为 $\mathrm{\Sigma }$ 。 （1）求锥面 $\mathrm{\Sigma }$ 的方程； （2）求 $S^{+}\cap \mathrm{\Sigma }$ 所在平面 $\pi$ 的方程．

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【25600】 【 中考数学分式及其训练2】 解答题 先化简，再求值：$\frac{2x}{x^2-4}-\frac{1}{x-2}$ ，其中 $x=3$ ．小乐同学的计算过程如下： [img=/uploads/2025-03/43a576.jpg][/img] （1）小乐同学的解答过程中，第 $$步开始出现了错误； （2）请帮助小乐同学写出正确的解答过程．

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【25599】 【 中考数学分式及其训练2】 解答题 先化简，再求值：$(\frac{x+1}{x-2}+1)÷\frac{2x^2-x}{x^2-4}$ ．其中 $x=-3$ ．

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【25598】 【 中考数学分式及其训练2】 解答题 利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下： [img=/uploads/2025-03/b88a08.jpg][/img] ，若 $m$ 是其显示结果的平方根，先化简： $(\frac{m}{m-3}+\frac{7m-4}{9-m^2})÷\frac{4-2m}{m+3}$ ，再求值。

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