【24879】 【 俞正光编著线性代数同步辅导2003版(行列式典型例题2)】 解答题 已知 $n$ 阶行列式 $$ D_n=\left|\begin{array}{ccccc} 2 & 4 & 6 & \cdots & 2 n \\ 1 & 2 & & & \\ 1 & & 3 & & \\ \vdots & & & \ddots & \\ 1 & & & & n \end{array}\right| $$ 求：$S=A_{11}+A_{12}+\cdots+A_{1 n}$（不计算 $A_{1 j}$ 求 $S$ ）．

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【24878】 【 俞正光编著线性代数同步辅导2003版(行列式典型例题2)】 解答题 设4阶行列式 $$ D=\left|\begin{array}{cccc} 1 & 0 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ -2 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right| $$

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【24877】 【 俞正光编著线性代数同步辅导2003版(行列式典型例题2)】 解答题 设4阶行列式 $$ D_4 \xlongequal{ }\left|\begin{array}{cccc} 1 & -1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -2 \\ 3 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right| $$ 求：$A_{11}+A_{12}-A_{13}-2 A_{14}$（ $A_{i j}$ 是元素 $a_{i j}$ 的代数余子式）．

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【24876】 【 俞正光编著线性代数同步辅导2003版(行列式典型例题2)】 解答题 计算$D_n=\left|\begin{array}{cccccc} x & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & x & -1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x & -1 \\ a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \cdots & a_2 & a_1+x \end{array}\right|(x \neq 0)$

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【24875】 【 俞正光编著线性代数同步辅导2003版(行列式典型例题2)】 解答题 计算$D_n=\left|\begin{array}{cccccc} \alpha+\beta & \alpha \beta & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & \alpha+\beta & \alpha \beta & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \alpha+\beta & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \alpha+\beta & \alpha \beta \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & \alpha+\beta \end{array}\right| .$

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【24874】 【 俞正光编著线性代数同步辅导2003版(行列式典型例题2)】 解答题 计算$D_n=\left|\begin{array}{cccccc} x & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & x & -1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x & -1 \\ a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \cdots & a_2 & a_1+x \end{array}\right| $

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【24873】 【 俞正光编著线性代数同步辅导2003版(行列式典型例题2)】 解答题 计算$D_n \xlongequal{ }\left|\begin{array}{cccccc} a & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ a x & a & -1 & \cdots & 0 & 0 \\ a x^2 & a x & a & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a x^{n-2} & a x^{n-3} & a x^{n-4} & \cdots & a & -1 \\ a x^{n-1} & a x^{n-2} & a x^{n-3} & \cdots & a x & a \end{array}\right| .$

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【24872】 【 俞正光编著线性代数同步辅导2003版(行列式典型例题2)】 解答题 试证 $$ D_n=\left|\begin{array}{cccccc} x & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & x & -1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x & -1 \\ a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \cdots & a_2 & a_1+x \end{array}\right| \text {. } \begin{gathered} \\ =x^n+a_1 x^{n-1}+a_2 x^{n-2}+\cdots+a_{n-1} x+a_n \quad(n \geqslant 2) . \end{gathered} $$

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【24871】 【 俞正光编著线性代数同步辅导2003版(行列式典型例题2)】 解答题 试证 $$ D_n=\left|\begin{array}{cccccc} \alpha+\beta & \alpha \beta & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & \alpha+\beta & \alpha \beta & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \alpha+\beta & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \alpha+\beta & \alpha \beta \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & \alpha+\beta \end{array}\right|=\frac{\alpha^{n+1}-\beta^{n+1}}{\alpha-\beta}(\alpha \neq \beta) . $$

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【24870】 【 俞正光编著线性代数同步辅导2003版(行列式典型例题1)】 解答题 计算 $$ D=\left|\begin{array}{llll} x_1 y_1 & x_1 y_2 & x_1 y_3 & x_1 y_4 \\ x_1 y_2 & x_2 y_2 & x_2 y_3 & x_2 y_4 \\ x_1 y_3 & x_2 y_3 & x_3 y_3 & x_3 y_4 \\ x_1 y_4 & x_2 y_4 & x_3 y_4 & x_4 y_4 \end{array}\right| $$

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