【20454】 【 高等数学《二重积分》专题练习】 填空题 设函数 $f(x)$ 为连续函数， $g(t)=\int_1^t d y \int_y^t f(x) d x$ ，则 $g^{\prime}(2)=$

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【20453】 【 高等数学《二重积分》专题练习】 填空题 $I=\int_0^1 d y \int_{\sqrt{y}}^1 \sqrt{x^4-y^2} d x=$

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【20452】 【 高等数学《二重积分》专题练习】 填空题 $\int_0^1 d y \int_{\arcsin y}^{\pi-\arcsin y} \sin ^3 x d x=$

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【20451】 【 高等数学《二重积分》专题练习】 填空题 设 $D=\{(x, y)| | x|+|y| \leq 1\}$, 则 $\iint_D(x+|y|) d x d y=$

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【20450】 【 考研数学《线性代数》（数一数二数三）共享大题压轴题】 解答题 若二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_2^2+x_3^2-2 x_1 x_3$ 经正交变换 $x = Q y$ 化为二次型 $g\left(y_1, y_2, y_3\right)=$ $y_1^2+y_2^2+a y_3^2+2 y_1 y_2$, 求 $a$ 与矩阵 $Q$.

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【20449】 【 考研数学《线性代数》（数一数二数三）共享大题压轴题】 解答题 设 3 阶实对称矩阵 $A$ 的秩为 $2, \lambda_1=\lambda_2=6$ 是 $A$ 的二重特征值。若 $\alpha _1=(1, a, 0)^{ T }, \alpha _2=(2$, $1,1)^{ T }, \alpha _3=(0,1,-1)^{ T }$ 都是矩阵 $A$ 属于特征值 6 的特征向量. (I) 求 $a$ 的值; (II) 求 $A$ 的另一特征值和对应的特征向量; (III) 若 $\beta =(-2,2,-1)^{ T }$, 求 $A ^n \beta$.

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【20448】 【 考研数学《线性代数》（数一数二数三）共享大题压轴题】 解答题 若对矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1\end{array}\right)$ 施以初等列变换得矩阵 $B =\left(\begin{array}{ccc}-1 & -2 & -1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 0 & -2 & 0\end{array}\right)$, 求满足 $A P = B$ 的所有可逆矩阵 $P$.

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【20447】 【 考研数学《线性代数》（数一数二数三）共享大题压轴题】 解答题 设 $A$ 是各行元素之和均为 0 的 3 阶矩阵, $\alpha , \beta$ 是线性无关的三维列向量, 并满足 $$ A \alpha =3 \beta , A \beta =3 \alpha $$ ( I ) 证明矩阵 $A$ 和对角矩阵相似; (II) 如 $\alpha =(0,-1,1)^{ T }, \beta =(1,0,-1)^{ T }$, 求矩阵 $A$; (III) 由 (II) 用配方法化二次型 $x ^{ T } A x$ 为标准形,并写出所用坐标变换.

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【20446】 【 考研数学《线性代数》（数一数二数三）共享大题压轴题】 解答题 若二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_2^2+a x_3^2+2 x_1 x_2-2 x_1 x_3$ 经可逆线性变换 $x = P y$ 化为二次型 $g\left(y_1, y_2, y_3\right)=y_1^2+5 y_2^2+8 y_3^2+4 y_1 y_2-4 y_1 y_3-4 y_2 y_3$, 求 $a$ 与矩阵 $P$.

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【20445】 【 考研数学《线性代数》（数一数二数三）共享大题压轴题】 解答题 设 $A$ 是 3 阶矩阵, $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 是 3 维列向量, 其中 $\alpha _3 \neq 0$, 若 $A \alpha _1= \alpha _2, A \alpha _2= \alpha _3, A \alpha _3= 0$. （I）证明： $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 线性无关； （II）求矩阵 $A$ 的特征值和特征向量; （III）若 $\alpha _1=(0,1,0)^{ T }, \alpha _2=(1,0,0)^{ T }, \alpha _3=(0,0,1)^{ T }$ ，求 $A , A ^3$ 和 $( A + E )^3$ 。

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