【20444】 【 考研数学《概率论与数理统计》（数一数三）共享大题压轴题】 解答题 设随机变量 $X \sim B\left(1, \frac{1}{3}\right)$, 随机变量 $Y \sim B\left(1, \frac{1}{4}\right)$, 已知 $P\{X=0, Y=0\}=\frac{7}{12}$.求 $(I)(X, Y)$ 的概率分布; (II) $X$ 和 $Y$ 的相关系数 $\rho$; (III) $P\left\{X^2+Y^2=1 \mid X=1\right\}$ 和 $P\left\{X=1 \mid X^2+Y^2=1\right\}$.

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【20443】 【 考研数学《概率论与数理统计》（数一数三）共享大题压轴题】 解答题 设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, $X$ 的概率密度为 $$ f(x)=\frac{1}{2 \lambda} e^{-\frac{|x|}{\lambda}} \quad(-\infty<x<+\infty, \lambda>0) . $$ (I) 求参数 $\lambda$ 的矩估计量 $\hat{\lambda}_1$; (II) 求参数 $\lambda$ 的最大似然估计量 $\hat{\lambda}_2$; (III) 判断 $\hat{\lambda}_2$ 是否为 $\lambda$ 的无偏估计量, 并说明理由.

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【20442】 【 考研数学《概率论与数理统计》（数一数三）共享大题压轴题】 解答题 设总体 $X$ 的概率分布为 [img=/uploads/2024-11/ac54c7.jpg][/img] 其中参数 $\theta \in\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 未知,以 $N_i$ 表示来自总体 $X$ 的简单随机样本（样本容量为 $n$ ）中等于 $i$ 的个数 $(i=0,1,2)$. (I) 求参数 $\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta}$; (II) 求常数 $a_0, a_1, a_2$, 使 $T=\sum_{i=0}^2 a_i N_i$ 为 $\theta^2$ 的无偏估计量, 并求 $T$ 的方差.

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【20441】 【 考研数学《概率论与数理统计》（数一数三）共享大题压轴题】 解答题 已知随机变量 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 相互独立, $X_1$ 与 $X_2$ 都在区间 $(0,1)$ 上服从均匀分布, $X_3$ 与 $X_4$ 都服从参数为 $\frac{1}{2}$ 的 $0-1$ 分布, 记 $Y=X_1+X_2+X_3 X_4$, 求 $Y$ 的分布函数 $F_Y(y)$ 及概率密度 $f_Y(y)$.

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【20440】 【 考研数学《概率论与数理统计》（数一数三）共享大题压轴题】 解答题 设二维正态随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为 $f(x, y)$. 已知条件概率密度 $$ \begin{aligned} & f_{X \mid Y}(x \mid y)=A e^{-\frac{2}{3}\left(x-\frac{y}{2}\right)^2},-\infty<x<+\infty, \text { 和 } \\ & f_{Y \mid X}(y \mid x)=B e^{-\frac{2}{3}\left(y-\frac{x}{2}\right)^2},-\infty<y<+\infty . \end{aligned} $$ 求 (I) 常数 $A$ 和 $B$; (II) $X$ 和 $Y$ 的边缘概率密度 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$; (III) $f(x, y)$ 和 $\rho_{X Y}$.

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【20439】 【 考研数学《概率论与数理统计》（数一数三）共享大题压轴题】 解答题 设二维离散型随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布的部分数据如下: [img=/uploads/2024-11/85cce3.jpg][/img] 已知 $E(X)=0$, 且 $X$ 与 $Y$ 不相关. (I) 试将分布中的其余数据填人空白处; (II) 试问 $X$ 与 $Y$ 是否独立? (III) 求 $\operatorname{Cov}\left(X, Y^2\right)$.

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【20438】 【 第十六届大学生数学竞赛初赛试卷(2024年A类)】 解答题 (1) 设 $f_1(t)=\frac{t+3}{2}, f_2(t)=\frac{t+6}{3},\left\{n_k\right\}$为取值于 $\{1,2\}$ 的整数列。令 $F_1(t)=f_{n_1}(t), F_{k+1}(t)=$ $F_k\left(f_{n_{k+1}}(t)\right)(k \geqslant 1)$. 证明: 对任何 $x \in R$, 极限 $\lim _{k \rightarrow+\infty} F_k(x)$存在且与 $x$ 无关. (2) 若题 (1) 中的 $f_1, f_2$ 改为 $f_1(t)=t-\arctan t, f_2(t)=2 \arctan t-t$, 结论如何?

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【20437】 【 第十六届大学生数学竞赛初赛试卷(2024年A类)】 解答题 讨论以下级数的收敛性: $$ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+(-1)^{[\sqrt{n}]}}, \quad \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^{[\sqrt{n}]}}, $$ 其中 $[x]$ 表示 $x$ 的整数部分.

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【20436】 【 第十六届大学生数学竞赛初赛试卷(2024年A类)】 解答题 熟知实数域 $R$ 上的一元多项式集合 $R [x]$ 在多项式加法和数乘下构成 $R$ 上的一个线性空间. 设 $f_i(x) \in R [x]$ 且次数为 $n_i, 1 \leq i \leq 2024$, 这里规定零多项式的次数为 $-\infty$, 已知 $$ \sum_{i=1}^{2024} n_i<2047276 $$ 证明: $f_1(x), f_2(x), \cdots, f_{2024}(x)$ 为空间 $R [x]$ 中线性相关的向量组.

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【20435】 【 第十六届大学生数学竞赛初赛试卷(2024年A类)】 解答题 设 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right) $$ 为实数域 $R$ 上的 $3 \times 3$ 不可逆方阵. 若 $A$ 的伴随矩阵 $A^*$ 为 $$ A^*=\left(\begin{array}{lll} a_{11}^2 & a_{12}^2 & a_{13}^2 \\ a_{21}^2 & a_{22}^2 & a_{23}^2 \\ a_{31}^2 & a_{32}^2 & a_{33}^2 \end{array}\right), $$ 求 $A$.

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