【20464】 【 南方科技大学2024秋数学分析I期中试卷(知乎网友Gauss解答)】 填空题 求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{3 n+1}$

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【20463】 【 高等数学《二重积分》专题练习】 解答题 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 证明: $$ \int_0^1 e^{f(x)} d x \int_0^1 e^{-f(y)} d y \geq 1 $$

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【20462】 【 高等数学《二重积分》专题练习】 解答题 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续， $\int_a^b f(x) d x=A$ ，求 $\int_a^b f (x) d x \int_x^b f (y) d y$.

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【20461】 【 高等数学《二重积分》专题练习】 解答题 设闭区域 $D: x^2+y^2 \leq y, f(x, y)$ 为 $D$ 上的连续函数，求 $f(x, y)$ ，其中 $$ f(x, y)=\sqrt{1-x^2-y^2}-\frac{4}{\pi} \iint_D f(u, v) d u d v $$

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【20460】 【 高等数学《二重积分》专题练习】 解答题 计算二重积分 $\iint_D r^2 \sin \theta \sqrt{1-r^2 \cos 2 \theta} d r d \theta$ ，其中 $D=\left\{(r, \theta) \mid 0 \leq r \leq \sec \theta, 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}\right\}$.

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【20459】 【 高等数学《二重积分》专题练习】 单选题 设 $f(x, y)$ 在区域 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\}$上可微，且 $f(0,0)=0$ ，极限 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_0^{x^2} d t \int_x^{\sqrt{t}} f(t, u) d u}{1-e^{-x^4}}=(\quad)$

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【20458】 【 高等数学《二重积分》专题练习】 单选题 设 $A=\int_0^2\left[e^x\right] d x, B=\iint_D\left(x^2+x y+y^2\right) d \sigma$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 2 x+2 y\right\},[x]$ 表示不超过 $x$的最大整数，则 $\frac{A}{B}=($

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【20457】 【 高等数学《二重积分》专题练习】 单选题 交换积分次序 $\int_{-1}^0 d y \int_{1-y}^2 f(x, y) d x=(\quad)$

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【20456】 【 高等数学《二重积分》专题练习】 单选题 设 $f(x, y)$ 为连续函数，且 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq t^2\right\}$ ，则 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\pi t^2} \iint_D f(x, y) d \sigma=(\quad)$

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【20455】 【 高等数学《二重积分》专题练习】 填空题 设 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq y \leq 1-x, 0 \leq x \leq 1\}$ ，计算 $\iint_D e^{\frac{y}{x+y}} d \sigma=$

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