【20474】 【 南方科技大学2024秋数学分析I期中试卷(知乎网友Gauss解答)】 解答题 设数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足，对任意 $\varepsilon>0$ ，存在实数 $f(\varepsilon)$ 和正整数 $N$ ，使得 $\left|a_n-f(\varepsilon)\right|<\varepsilon$对一切 $n>N$ 成立. 证明: $\left\{a_n\right\}$ 收敛，且 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} a_n=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} f(\varepsilon) $$

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【20473】 【 南方科技大学2024秋数学分析I期中试卷(知乎网友Gauss解答)】 解答题 设函数 $f$ 在区间 $I$ 上一致连续，且对于任意 $x \in I$ 均有 $|f(x)|>1$. 证明： $1 / f(x)$ 在区间 $I$ 上一致连续。

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【20472】 【 南方科技大学2024秋数学分析I期中试卷(知乎网友Gauss解答)】 解答题 设 $a_n=\sum_{i=1}^n \sin \frac{i}{n^2}, b_n=\sum_{i=1}^n \frac{i}{n^2}, c_n=\sum_{i=1}^n \tan \frac{i}{n^c}$. (1) 证明: $a_n<b_n<c_n$ ； (2) 求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{c_n}$; (3) 求 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$.

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【20471】 【 南方科技大学2024秋数学分析I期中试卷(知乎网友Gauss解答)】 解答题 考虑函数 $$ f(x)= \begin{cases}x^2 \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{cases} $$ (1) 求 $f^{\prime}(0)$ ； (2) 证明: $f^{\prime}(x)$ 在 0 处不连续.

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【20470】 【 南方科技大学2024秋数学分析I期中试卷(知乎网友Gauss解答)】 解答题 求证 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sqrt{6 x-x^2}=0$.

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【20469】 【 南方科技大学2024秋数学分析I期中试卷(知乎网友Gauss解答)】 填空题 求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(\sin ^2 x\right)}{1-\cos x}$

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【20468】 【 南方科技大学2024秋数学分析I期中试卷(知乎网友Gauss解答)】 填空题 设 $f(x)=\frac{e^x \arctan x}{x}$ ，求 $f^{\prime}(x)$

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【20467】 【 南方科技大学2024秋数学分析I期中试卷(知乎网友Gauss解答)】 填空题 求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \ln (\arctan x)$

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【20466】 【 南方科技大学2024秋数学分析I期中试卷(知乎网友Gauss解答)】 填空题 设 $f(x)=|\sin x|^3$ ，求 $f^{\prime}(x)$

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【20465】 【 南方科技大学2024秋数学分析I期中试卷(知乎网友Gauss解答)】 填空题 设 $y=\ln \left(x+\frac{1}{x}\right)$ ，求 $y^{\prime}$

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