【24949】 【 俞正光编著线性代数同步辅导2003版(向量空间)】 解答题 讨论向量组 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \alpha _4$ 的线性相关性，其中 $\alpha _1=(1,0,2$ ， $3)^{ T }, \alpha _2=(1,1,3,5), \alpha _3=(1,-1, a+2,1)^{ T }, \alpha _4=(1,2,4, a+9)^{ T }$ 。

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【24948】 【 俞正光编著线性代数同步辅导2003版(向量空间)】 填空题 下列命题是否正确？若正确．证明之，若错误，举出反例或说明理由。 （1）若 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \alpha _4$ 线性无关，则 $\alpha _1+ \alpha _2, \alpha _2+ \alpha _3, \alpha _3+ \alpha _4, \alpha _4+ \alpha _1$ 也线性无关。 （2）如 $r\left( \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3\right)=r\left( \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \alpha _4\right)$ ，则 $\alpha _4$ 必可被 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 线性表出．

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【24947】 【 俞正光编著线性代数同步辅导2003版(向量空间)】 填空题 下列命题是否正确？若正确．证明之，若错误，举出反例或说明理由。 （1） $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _m(m>2)$ 线性无关的充要条件是任意两个向量线性无关。 （2）若 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 线性无关．则 $\alpha _1- \alpha _2, \alpha _2- \alpha _3, \alpha _3- \alpha _1$ 也线性无关．

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【24946】 【 俞正光编著线性代数同步辅导2003版(向量空间)】 填空题 下列命题是否正确？若正确．证明之，若错误，举出反例或说明理由。 （1） $\beta$ 不能被 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ 线性表出．则 $\alpha _1, \cdots, \alpha _s, \beta$ ，线性无关． （2）如果 $k_1, k_2, \cdots, k_s$ 不全为 0 时，使 $k_1 \alpha _1+k_2 \alpha _2+\cdots+k_s \alpha _s \neq 0$ ，则 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ 线性无关 （3）如果有一组全为 0 的数 $k_1, k_2 \cdots k_s$ ，使 $k_1 \alpha _1+k_2 \alpha _2+\cdots+k_s \alpha _s= 0$ ， 则 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ 线性无关．

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【24945】 【 俞正光编著线性代数同步辅导2003版(分块矩阵、秩与方程的解)】 解答题 设方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} p x_1+x_2+x_3=4 \\ x_1+t x_2+x_3=3 \\ x_1+2 t x_2+x_3=4 \end{array}\right. $$ 问 $p, t$ 为何值时，方程组有惟一解，无穷多解和无解？并在有解时求解．

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【24944】 【 俞正光编著线性代数同步辅导2003版(分块矩阵、秩与方程的解)】 解答题 求解线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2+2 x_3+3 x_4=1 \\ 2 x_1+3 x_2+5 x_3+2 x_4=-3 \\ 3 x_1+5 x_2+2 x_3-2 x_4=-10 \\ 4 x_1+7 x_2+5 x_3-3 x_4=-14 \end{array}\right. $$

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【24943】 【 俞正光编著线性代数同步辅导2003版(分块矩阵、秩与方程的解)】 解答题 计算 $$ \left|\begin{array}{cccc} 1+x_1 y_1 & x_1 y_2 & \cdots & x_1 y_n \\ x_2 y_1 & 1+x_2 y_2 & \cdots & x_2 y_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_n y_1 & x_n y_2 & \cdots & 1+x_n y_n \end{array}\right| $$

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【24942】 【 俞正光编著线性代数同步辅导2003版(分块矩阵、秩与方程的解)】 解答题 已知 $A, B, C, D \in M_n$ ．且 $A$ 可逆，$A C=C A$ ，设 $M=$ $\left(\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right)$ ，求证： $$ |M|=|A D-C B| . $$

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【24941】 【 俞正光编著线性代数同步辅导2003版(分块矩阵、秩与方程的解)】 解答题 $ A, B \in M_n$ ，证明 $\left|\begin{array}{cc}A & i \\ I & B\end{array}\right|=|A B-I|$ ．

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【24940】 【 俞正光编著线性代数同步辅导2003版(分块矩阵、秩与方程的解)】 解答题 设 $A \in M_{m k}, B \in M_{k n}, A B=0$ ，则 $B$ 的各列为线性齐次方程组 $A X=0$ 的解向量．

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