【20434】 【 第十六届大学生数学竞赛初赛试卷(2024年A类)】 解答题 设 $s \geqslant 0$, $\varphi(s)=\int_0^{+\infty} \frac{\ln \left(1+s x^2\right)}{x\left(1+x^2\right)} d x$ 求 $\varphi(1)$ 和 $\varphi(2)$.

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【20433】 【 第十六届大学生数学竞赛初赛试卷(2024年A类)】 解答题 设双叶双曲面 $S: x^2+y^2-z^2=-2$. 记以 $M_0(1,1,-1)$ 为顶点且与 $S$ 的上半叶$S^{+}=\{(x, y, z) \in S \mid z \geq \sqrt{2}\}$相切的所有切线构成的锥面为 $\Sigma$ 。 (1) 求锥面 $\Sigma$ 的方程; (2) 求 $S^{+} \cap \Sigma$ 所在平面 $\pi$ 的方程.

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【20432】 【 考研数学微信公众号《李艳芳每日一题》试题节选(线性代数)】 解答题 设 $A =\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 3 \\ -1 & 2 & -3 \\ 1 & 4 & -3\end{array}\right], \xi _1=\left[\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ -1\end{array}\right]$, 记满足 $A \xi _2=2 \xi _1, A ^2 \xi _3=6 \xi _1$ 的向量为 $\xi _2, \xi _3$ ，证明:对任意满足条件的向量 $\xi_2, \xi_3$ ，都有 $\xi_1, \xi_2, \xi_3$ 线性无关.

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【20431】 【 考研数学微信公众号《李艳芳每日一题》试题节选(线性代数)】 解答题 设 $A =\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 3 \\ -1 & 2 & -3 \\ 1 & 4 & -3\end{array}\right], \xi_1=\left[\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ -1\end{array}\right]$, 求满足 $A \xi_2=2 \xi_1, A ^2 \xi_3=6 \xi_1$ 的所有向量 $\xi_2, \xi_3$.

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【20430】 【 考研数学微信公众号《李艳芳每日一题》试题节选(线性代数)】 单选题 设 $A$ 为 3 阶矩阵, $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 为线性无关的向量组.若 $A \alpha _1= \alpha _2+ \alpha _3, A \alpha _2= \alpha _1+$ $\alpha _3, A \alpha _3= \alpha _1+ \alpha _2$, 则 $| A |=$

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【20429】 【 考研数学微信公众号《李艳芳每日一题》试题节选(线性代数)】 单选题 设 $A$ 是 3 阶矩阵， 0 是 $A$ 的单特征值， $\alpha$ 是满足 $A \alpha= 0$ 的非零向量. 若对满足 $\beta^{ T } \alpha=0$ 的 3维列向量 $\beta$ ，均有 $A ^2 \beta=\beta$ ，则（）

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【20428】 【 考研数学微信公众号《李艳芳每日一题》试题节选(线性代数)】 单选题 设 $A ， B$ 为 $n(n \geq 2)$ 阶矩阵，则下列说法中，错误的是（）

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【20427】 【 考研数学微信公众号《李艳芳每日一题》试题节选(线性代数)】 单选题 设矩阵 $A ， B ， C$ 为同阶矩阵，且 $A ， B$ 可逆，矩阵 $M=\left(\begin{array}{cc}A & C \\ O & B\end{array}\right)$ ， $M_1=\left(\begin{array}{cc}A & A^{-1} C \\ O & B\end{array}\right), M_2=\left(\begin{array}{cc}A & A^{-1} C B^{-1} \\ O & B\end{array}\right)$, 则()

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【20426】 【 考研数学微信公众号《李艳芳每日一题》试题节选(线性代数相似与合同)】 单选题 设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2\end{array}\right) ， B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $A$ 与 $B()$

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【20425】 【 考研数学微信公众号《李艳芳每日一题》试题节选(线性代数相似与合同)】 单选题 设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a\end{array}\right) ， B=\left(\begin{array}{lll}b & b & a \\ b & a & b \\ a & b & b\end{array}\right) ， C=\left(\begin{array}{lll}b & a & b \\ a & b & b \\ b & b & a\end{array}\right) ， A ， B ， C$ 均可逆，则（）

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