【25617】 【 《高等数学解题指南》-未定式求极限的方法】 解答题 $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{1-\sqrt{\cos x}}{x(1-\cos \sqrt{x})}$;

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【25616】 【 第十六届全国大学生数学竞赛初赛《非数学A类》试题及详细参考解答】 解答题 证明：级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{[\sqrt{n}]}}{n^2+k^2}$ 收敛，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数。

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【25615】 【 第十六届全国大学生数学竞赛初赛《非数学A类》试题及详细参考解答】 解答题 设 $f(x)$ 是定义在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 上具有连续导数的非负函数，且存在 $M>0$ ，使得对任意的 $x,y\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ ，有 $|f^{\prime }(x)-f^{\prime }(y)|\le M|x-y|$ ．证明：对于任意实数 $x$ ，恒有 ${[f^{\prime }(x)]}^2\le 2Mf(x)$ ．

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【25614】 【 第十六届全国大学生数学竞赛初赛《非数学A类》试题及详细参考解答】 解答题 设 $S$ 是上半球面 $x^2+y^2+z^2=R^2(z\ge 0)$ ，方向取上侧，计算 $$I={\iint }_S(x^2-x)dydz+(y^2-y)dzdx+(z^2-z)dxdy.$$

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【25613】 【 第十六届全国大学生数学竞赛初赛《非数学A类》试题及详细参考解答】 解答题 设函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x},& 0<x\le 1,\\ k,& x=0.\end{array}$ （1）求常数 $k$ 的值，使得 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续； （2）对（1）中 $k$ 的值，求函数 $f(x)$ 的最小值 $\lambda$ 与最大值 $\mu$ ．

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【25612】 【 第十六届全国大学生数学竞赛初赛《非数学A类》试题及详细参考解答】 解答题 求微分方程 $(x^3-y^2)dx+(x^{2}y+xy)dy=0$ 的通解．

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【25611】 【 第十六届全国大学生数学竞赛初赛《非数学A类》试题及详细参考解答】 填空题 设 $L$ 为圆周 $x^2+y^2=9$ ，取逆时针方向，则第二型曲线积分 $${\int }_L\frac{-y}{4x^2+y^2}dx+\frac{x}{4x^2+y^2}dy=$$

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【25610】 【 第十六届全国大学生数学竞赛初赛《非数学A类》试题及详细参考解答】 填空题 直线 $L:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}$ 在平面 $\pi :x-y+2z-1=0$ 上的投影直线 $L_0$的单位方向向量为

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【25609】 【 第十六届全国大学生数学竞赛初赛《非数学A类》试题及详细参考解答】 填空题 已知 $z=f(xy,e^{x+y})$ ，且 $f(x,y)$ 具有二阶连续偏导数，则 $\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=$

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【25608】 【 第十六届全国大学生数学竞赛初赛《非数学A类》试题及详细参考解答】 填空题 设 $D:x^2+y^2\le r^2(r>0)$ ，则 $\underset{r\to 0^{+}}{lim}\frac{{\iint }_D(e^{x^2+y^2}-1)dxdy}{r^4}=$

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