甘肃兰州一中2024高一下学期期中考试

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甘肃兰州一中2024高一下学期期中考试

一、单选题（共 8 题），每题只有一个选项正确

1. 若

\sin α = \frac{1}{3}

, 则

\cos 2 α =

A.

\frac{8}{9}

B.

\frac{7}{9}

C.

- \frac{7}{9}

D.

- \frac{8}{9}

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2. 在复平面内, 复数

z

与

\frac{2}{1 - i}

对应的点关于实轴对称, 则

z

等于

A.

1 + i

B.

- 1 - i

C.

- 1 + i

D.

1 - i

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3. 设

\vec{a}, \vec{b}

是非零向量, “

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} |

” 是 “

\vec{a} / / \vec{b}

” 的

A.

充分而不必要条件

B.

必要而不充分条件

C.

充分必要条件

D.

既不充分也不必要条件

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4. 已知正

△ A B C

的边长为

a

, 那么

△ A B C

的平面直观图

△ A^{'} B^{'} C^{'}

的面积为

A.

\frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}

B.

\frac{\sqrt{3}}{8} a^{2}

C.

\frac{\sqrt{6}}{8} a^{2}

D.

\frac{\sqrt{6}}{16} a^{2}

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△ A B C

中, 角

A, B, C

所对的边分别为

a, b, c

, 若

\frac{c}{b} <

\cos A

, 则

△ A B C

为

A.

钝角三角形

B.

直角三角形

C.

锐角三角形

D.

等边三角形

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6. 如图,测量河对岸的塔高

A B

时可以选与塔底

B

在同一水平面内的两个测点

C

与

D

, 测得

∠ B C D = 15^{\circ}, ∠ B D C = 30^{\circ}, C D = 30

, 并在点

C

测得塔顶

A

的仰角为

60^{\circ}

, 则塔高

A B

等于

A.

5 \sqrt{6}

B.

15 \sqrt{3}

C.

15 \sqrt{6}

D.

5 \sqrt{2}

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\frac{\sqrt{3}}{\cos 190^{\circ}} + \frac{1}{\cos 80^{\circ}} =

A.

-4

B.

C.

-2

D.

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△ A B C

中, 角

A, B, C

的对边分别为

a, b, c

, 且

b^{2} + c^{2} -

\sqrt{3} b c = a^{2}, b c = \sqrt{3} a^{2}

, 则角

C

的大小是

A.

\frac{π}{6}

或

\frac{2 π}{3}

B.

\frac{π}{3}

C.

\frac{2 π}{3}

D.

\frac{π}{6}

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二、多选题（共 4 题），每题有多个选项正确

9. 下列命题正确的是

A.

圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线

B.

两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台

C.

以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴, 其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台

D.

用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形

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10.

i

为虚数单位, 复数

z = \frac{3 + 2 i}{2 - i}

, 则为真命题的是

A.

z

在复平面内对应的点在第一象限

B.

z

的虚部是

- \frac{7}{5}

C.

| z | = 3 \sqrt{5}

D.

若复数

z_{1}

满足

| z_{1} - z | = 1

, 则

| z_{1} |

的最大值为

1 + \frac{\sqrt{65}}{5}

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11. 如图所示, 设

O x, O y

是平面内相交成

θ (θ \neq \frac{π}{2})

角的两条数轴,

{\vec{e}}_{1}, {\vec{e}}_{2}

分别是与

x

轴,

y

轴正方向同向的单位向量, 则称平面坐标系

x O y

为

θ

反射坐标系. 在

θ

反射坐标系中, 若

\vec{O M} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}

, 则把有序数对

(x, y)

称为向量

\vec{O M}

的反射坐标, 记为

\vec{O M} = (x, y)

. 在

θ = \frac{2 π}{3}

的反射坐标系中,

\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (2, - 1)

, 其中正确的是

A.

\vec{a} - \vec{b} = (- 1, 3)

B.

| \vec{a} | = \sqrt{5}

C.

\vec{a} ⊥ \vec{b}

D.

| \vec{b} | = \sqrt{7}

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12. 已知函数

f (x) = \sin (\frac{5 π}{6} - 2 x) - 2 \sin (x - \frac{π}{4}) \cos (x + \frac{3 π}{4})

, 则下列关于函数

f (x)

的描述, 正确的是

A.

f (x)

在区间

[0, \frac{π}{3}]

上单调递增

B.

f (x)

图象的一条对称轴是

x = - \frac{π}{6}

C.

f (x)

图象的一个对称中心是

(\frac{π}{3}, 0)

D.

将

f (x)

的图象向右平移

\frac{π}{3}

个单位长度后, 所得的函数图象关于

y

轴对称

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三、填空题（共 10 题），请把答案直接填写在答题纸上

13. 平面向量

\vec{a}

与

\vec{b}

的夹角为

45^{\circ}, \vec{a} = (1, 1), | \vec{b} | = 2

, 则

∣ 3 \vec{a} + \vec{b} ∣=

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14. 已知

\sin α = \frac{\sqrt{5}}{5}, \sin (α - β) = - \frac{\sqrt{10}}{10}, α, β

均为锐角, 则

β =

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15. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的 “三斜公式”, 设

△ A B C

三个内角

A 、 B 、 C

所对的边分别为

a 、 b 、 c

, 面积为

S

, 则 “三斜求积” 公式为

S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} c^{2} - {(\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}

. 若

a^{2} \sin C =

4 \sin A, (a + c)^{2} = 12 + b^{2}

, 则用 “三斜求积” 公式求得

△ A B C

的面积为

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16. 已知在

△ O A B

中,

O A = O B = 2, A B = 2 \sqrt{3}

, 动点

P

位于线段

A B

上, 则当

\vec{P A} \cdot \vec{P O}

取最小值时, 向量

\vec{P A}

与

\vec{P O}

的夹角的余弦值为

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17. 已知复数

z

满足

\frac{1}{z} = \frac{i}{z + 1}

, 求

| z |

;
(2) 计算

{(\frac{1 + i}{1 - i})}^{6} + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} i}{\sqrt{3} - \sqrt{2} i}

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18. 学生到工厂劳动实践, 利用

3 D

打印技术制作模型. 如图,该模型为长方体

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

挖去四棱锥

O - E F G H

后所得的几何体. 其中

O

为长方体的中心,

E, F, G, H

分别为所在棱的中点,

A B = B C =

6 cm, A A_{1} = 4 cm .3 D

打印所用原料密度为

0.9 g / {cm}^{3}

, 不考虑打印损耗, 求制作该模型所需原料的质量.

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19. 如图, 在四边形

A B C D

中,

∠ D A B = \frac{π}{3}, A D : A B = 2 : 3

B D = \sqrt{7}, A B ⊥ B C

.
(1) 求

\sin ∠ A B D

的值;
(2) 若

∠ B C D = \frac{2 π}{3}

, 求

C D

的长.

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20. 已知函数

f (x) = 2 \sin^{2} ω x + 2 \sqrt{3} \sin ω x \cos ω x - 1 (ω > 0)

,且函数

f (x)

的最小正周期为

π

.
(1) 求

f (x)

的解析式,并求出

f (x)

的单调递增区间;
(2) 将函数

f (x)

的图象向左平移

\frac{π}{4}

个单位长度得到函数

g (x)

的图象, 求函数

g (x)

的最大值及

g (x)

取得最大值时

x

的取值集合.

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21. 在①

\frac{\sin A}{\sin B - \sin C} = \frac{b + c}{b - a}

; ②

\frac{c}{a} = \frac{\cos C + 1}{\sqrt{3} \sin A}

; ③

2 S =

\sqrt{3} \vec{C A} \cdot \vec{C B}

这三个条件中任选一个, 补充在下面的横线上, 并加以解答.
在

△ A B C

中, 角

A, B, C

的对边分别是

a, b, c, S

为

△ A B C

的面积, 若 ________ . (填条件序号)
(1) 求角

C

的大小;
(2) 点

D

在

C A

的延长线上, 且

A

为

C D

的中点, 线段

B D

的长度为 2 , 求

△ A B C

的面积

S

的最大值.

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22.

△ A B C

的内角

A, B, C

的对边分别为

a, b, c

, 已知

a \sin \frac{A + C}{2} = b \sin A

.
(1) 求

B

;
(2) 若

△ A B C

为锐角三角形, 且

c = 1

, 求

a

的取值范围.

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