单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
若集合 $M=\{x \mid 2 x-3>0\}, N=\{1,2,3,4\}$, 则 $M \cap N=$
$\text{A.}$ $\{1,2\}$
$\text{B.}$ $\{3,4\}$
$\text{C.}$ $\left\{x \mid 1 < x < 5, x \in \mathbf{N}^*\right\}$
$\text{D.}$ $\left\{x \mid 1 \leqslant x \leqslant 4, x \in \mathbf{N}^*\right\}$
已知 $\bar{z}$ 是复数 $z$ 的共轭复数, 则 $(\mathrm{i}+z)(\mathrm{i}+\bar{z})=4+4 \mathrm{i}$, 则 $|z|=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\sqrt{5}$
$\text{C.}$ 5
$\text{D.}$ $4 \sqrt{2}$
已知向量 $\boldsymbol{a}=(-1,1), \boldsymbol{b}=(m, 2)$. 若 $(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) \perp \boldsymbol{a}$, 则 $m=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ -2
$\text{D.}$ 0
从 $1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7$ 这 7 个数中任取 5 个不同的数, 事件 $A:$ “取出的 5 个不同的数的中位数是 4 ”, 事件 $B$ : “取出的 5 个不同的数的平均数是 4 ”, 则 $P(B \mid A)=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{7}$
$\text{B.}$ $\frac{9}{35}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{3}{7}$
已知函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{6}\right)(\omega>0)$ 在区间 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 内有最大值, 但无最小值, 则 $\omega$ 的取值范 围是
$\text{A.}$ $\left(\frac{2}{3}, \frac{8}{3}\right]$
$\text{B.}$ $\left[\frac{1}{6}, \frac{5}{6}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\frac{2}{3}, \frac{5}{6}\right]$
$\text{D.}$ $\left[\frac{1}{6}, \frac{8}{3}\right)$
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 且满足 $S_n=n^2+n+1$, 若 $a_p+a_q=2027, p, q \in \mathbf{N}^*$, 则 $p+q=$
$\text{A.}$ 2027
$\text{B.}$ 1012
$\text{C.}$ 1013
$\text{D.}$ 1014
设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1 、 F_2, P$ 是椭圆上一点, $\left|P F_1\right|=\lambda\left|P F_2\right|$, $\frac{1}{2} \leqslant \lambda \leqslant 2, \angle F_1 P F_2=\frac{\pi}{2}$, 则椭圆离心率的取值范围为
$\text{A.}$ $\left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$
$\text{B.}$ $\left[\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{5}}{3}\right]$
$\text{C.}$ $\left[\frac{2}{3}, \frac{\sqrt{5}}{3}\right]$
$\text{D.}$ $\left[\frac{\sqrt{5}}{3}, 1\right)$
设 $a=\ln 1.1, b=\mathrm{e}^{0.1}-1, c=\tan 0.1$, 则
$\text{A.}$ $a < b < c$
$\text{B.}$ $c < a < b$
$\text{C.}$ $b < a < c$
$\text{D.}$ $a < c < b$
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
如图所示, 棱长为 2 的正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, 面对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$, 则下列 说法正确的有
$\text{A.}$ $O C_1 / /$ 平面 $A B_1 D_1$
$\text{B.}$ 点 $O$ 到平面 $A B_1 D_1$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{C.}$ 过点 $A$ 作与平面 $A B_1 D_1$ 垂直的直线 $l$, 则 $l$ 与直线 $B C$ 夹角的余弦 值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{D.}$ 沿正方体的表面从点 $A$ 到点 $C_1$ 的最短距离是 $2 \sqrt{2}+2$
已知圆 $O: x^2+y^2=4$ 和圆 $C:(x-3)^2+(y-3)^2=4, P, Q$ 分别是圆 $O$, 圆 $C$ 上的动点, 则下 列说法错误的是
$\text{A.}$ 圆 $O$ 与圆 $C$ 相交
$\text{B.}$ $|P Q|$ 的取值范围是 $[3 \sqrt{2}-4,3 \sqrt{2}+4]$
$\text{C.}$ $x-y=2$ 是圆 $O$ 与圆 $C$ 的一条公切线
$\text{D.}$ 过点 $Q$ 作圆 $O$ 的两条切线, 切点分别为 $M, N$, 则存在点 $Q$, 使得 $\angle M Q N=90^{\circ}$
已知三次函数 $f(x)=x^3+b x^2+c x+d$ 有三个不同的零点 $x_1, x_2, x_3\left(x_1 < x_2 < x_3\right)$, 若函数 $g(x)$ $=f(x)-1$ 也有三个不同的零点 $t_1, t_2, t_3\left(t_1 < t_2 < t_3\right)$, 则下列等式或不等式一定成立的有
$\text{A.}$ $b^2 < 3 c$
$\text{B.}$ $t_3>x_3$
$\text{C.}$ $x_1+x_2+x_3=t_1+t_2+t_3$
$\text{D.}$ $x_1 x_2 x_3-t_1 t_2 t_3=1$
已知直线 $l$ 过抛物线 $E: y^2=4 x$ 的焦点 $F$, 与抛物线相交于 $A\left(x_1, y_1\right) 、 B\left(x_2, y_2\right)$ 两点, 分别 过 $A 、 B$ 作抛物线的准线 $l_0$ 的垂线, 垂足分别为 $A^{\prime} 、 B^{\prime}$, 以线段 $A^{\prime} B^{\prime}$ 为直径作圆 $M, O$ 为坐 标原点,下列正确的判断有
$\text{A.}$ $x_1+x_2 \geqslant 2$
$\text{B.}$ $\triangle A O B$ 为针角三角形
$\text{C.}$ 点 $F$ 在圆 $M$ 外部
$\text{D.}$ 直线 $A^{\prime} F$ 平分 $\angle O F A$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
现有 5 名同学从北京、上海、深圳三个路线中选择一个路线进行研学活动, 每个路线至少 1 人,至多 2 人,其中甲同学不选深圳路线,则不同的路线选择方法共有 种. (用数 字作答)
如图所示, 在上、下底面均为正方形的四棱台 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, 已知 $A A_1=B B_1=C C_1=D D_1=\sqrt{2}, A B=2, A_1 B_1=1$, 则该四棱 台外接球的体积为
已知函数 $f(x)=\frac{\mathrm{e}^x-1}{\mathrm{e}^x+1}+\mathrm{e} x+2$, 且满足 $f\left(m^2\right)+f(m-2)>4$, 则 实数 $m$ 的取值范围是
直线 $y=a$ 分别与直线 $y=2(x+1)$, 曲线 $y=x+\ln x$ 交于点 $A 、 B$, 则 $|A B|$ 的最小值 为
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
在等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 中, $a_1=2$, 且 $a_1, a_3+1, a_4$ 成等差数列.
(1) 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 记 $b_n=\frac{2^n}{\sqrt{a_n-1}+\sqrt{a_{n+1}-1}}, n \in \mathbf{N}^*$, 数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$, 求不等式 $T_n < 10$ 的解集.
如图, 四棱雉 $A-P C B M$ 中, 底面四边形 $P C B M$ 是直角梯形, $P M / / B C, \angle P C B=90^{\circ}, B C=$ $2, P M=1, A C=1, \angle A C B=120^{\circ}, A B \perp P C$, 直线 $A M$ 与 $P C$ 所成的角为 $60^{\circ}$.
(1) 求证: 平面 $P A C \perp$ 平面 $A B C$;
(2) 点 $Q$ 为线段 $M B$ 上一点, 若二面角 $Q-A C-B$ 的大 小为 $30^{\circ}$, 求 $Q B$ 的长.
已知 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 且 $c \cos C \sin A=(2 b-c) \sin C \cos A$.
(1) 求 $\angle A$;
(2) 若 $|\overrightarrow{C B}-\overrightarrow{C A}|=4, \cos B+\cos C=1$, 求 $\triangle A B C$ 的面积.
某同学进行投篮训练, 已知该同学每次投中的概率均为 0.5 .
(1) 若该同学进行三次投篮,第一次投中得 1 分, 第二次投中得 1 分, 第三次投中得 2 分, 记 $X$ 为三次总得分,求 $X$ 的分布列及数学期望;
(2) 已知当随机变量 $\xi$ 服从二项分布 $B(n, p)$ 时, 若 $n$ 充分大, 则随机变量 $\eta=\frac{\xi-n p}{\sqrt{n p(1-p)}}$ 服 从标准正态分布 $N(0,1)$. 若要保证投中的频率在 0.4 与 0.6 之间的概率不低于 $90 \%$, 求该同学至少要投多少次.
附: 若 $n$ 表示投篮的次数, $\xi$ 表示投中的次数, 则投中的频率为 $\frac{\xi}{n}$; 若 $\eta \sim N(0,1)$, 则 $P(\eta < $ $1.28)=0.9, P(\eta < 1.645)=0.95$.
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 经过点 $A_1(2,0), A_2(4,0), A_3(2 \sqrt{2}, \sqrt{3}), A_4(2 \sqrt{2}$, $-\sqrt{3}), A_5(\sqrt{3}, \sqrt{3})$ 中的 3 个点.
(1) 求双曲线 $C$ 的方程;
(2) 已知点 $M, N$ 是双曲线 $C$ 上与其顶点不重合的两个动点, 过点 $M, N$ 的直线 $l_1, l_2$ 都经过 双曲线 $C$ 的右顶点, 若直线 $l_1, l_2$ 的斜率分别为 $k_1, k_2$, 且 $k_1+k_2=1$, 判断直线 $M N$ 是否 过定点. 若过定点, 求出该定点的坐标; 若不过定点, 请说明理由.
已知函数 $f(x)=\frac{\ln x}{x}+a(x-1), a \in \mathbf{R}$.
(1) 试讨论 $f(x)$ 的极值点的个数;
(2) 若 $g(x)=x f(x)$, 且对任意的 $x \in[1,+\infty)$ 都有 $g(x) \leqslant 0$, 求 $a$ 的取值范围.