如图所示, 棱长为 2 的正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, 面对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$, 则下列 说法正确的有
$\text{A.}$ $O C_1 / /$ 平面 $A B_1 D_1$
$\text{B.}$ 点 $O$ 到平面 $A B_1 D_1$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{C.}$ 过点 $A$ 作与平面 $A B_1 D_1$ 垂直的直线 $l$, 则 $l$ 与直线 $B C$ 夹角的余弦 值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{D.}$ 沿正方体的表面从点 $A$ 到点 $C_1$ 的最短距离是 $2 \sqrt{2}+2$