2015年全国硕士研究生招生统一考试数学试题及详细参考解答(数二)

导出试卷

2015年全国硕士研究生招生统一考试数学试题及详细参考解答(数二)

一、单选题（共 8 题），每题只有一个选项正确

1. 下列反常积分中收敛的是

A.

\int_{2}^{+ \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} d x

B.

\int_{2}^{+ \infty} \frac{\ln x}{x} d x

C.

\int_{2}^{+ \infty} \frac{1}{x \ln x} d x

D.

\int_{2}^{+ \infty} \frac{x}{e^{x}} d x

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

2. 函数

f (x) = lim_{t \to 0} {(1 + \frac{\sin t}{x})}^{\frac{x^{2}}{t}}

在

(- \infty, + \infty)

内

A.

连续

B.

有可去间断点

C.

有跳跃间断点

D.

有无穷间断点

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

3. 设函数

f (x) = {\begin{array}{cl} x^{α} \cos \frac{1}{x^{β}}, & x > 0 \\ 0, & x \leq 0 \end{array} (α > 0, β > 0)

，若

f^{'} (x)

在

x = 0

处连续，则

A.

α - β > 1

B.

0 < α - β \leq 1

C.

α - β > 2

D.

0 < α - β \leq 2

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

4. 设函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

连续，其二阶导函数

f^{''} (x)

的图形如下图所示，则曲线

y = f (x)

的拐点个数为

A.

B.

C.

D.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

5. 设函数

f (u, v)

满足

f (x + y, \frac{y}{x}) = x^{2} - y^{2}

，则

{\frac{\partial f}{\partial u} |}_{\begin{matrix} u = 1 \\ v = 1 \end{matrix}}

与

{\frac{\partial f}{\partial v} |}_{\begin{matrix} u = 1 \\ v = 1 \end{matrix}}

依次是

A.

\frac{1}{2}, 0

B.

0, \frac{1}{2}

C.

- \frac{1}{2}, 0

D.

0, - \frac{1}{2}

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

6. 设

D

是第一象限中曲线

2 x y = 1, 4 x y = 1

与直线

y = x

，

y = \sqrt{3} x

围成的平面区域，函数

f (x, y)

在

D

上连续，则

\iint_{D} f (x, y) d x d y =

A.

\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} d θ \int_{\frac{1}{2 \sin 2 θ}}^{\frac{1}{\sin 2 θ}} f (r \cos θ, r \sin θ) r d r

B.

\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} d θ \int_{\frac{1}{\sqrt{2 \sin 2 θ}}}^{\frac{1}{\sqrt{\sin 2 θ}}} f (r \cos θ, r \sin θ) r d r

C.

\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} d θ \int_{\frac{1}{2 \sin 2 θ}}^{\frac{1}{\sin 2 θ}} f (r \cos θ, r \sin θ) d r

D.

\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} d θ \int_{\frac{1}{\sqrt{2 \sin 2 θ}}}^{\frac{1}{\sqrt{\sin 2 θ}}} f (r \cos θ, r \sin θ) d r

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

7. 设矩阵

A = (\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a \\ 1 & 4 & a^{2} \end{array}) ， b = (\begin{matrix} 1 \\ d \\ d^{2} \end{matrix})

，若集合

Ω = {1, 2}

，则线性方程组

A x = b

有无穷多个解的充分必要条件为

A.

a \notin Ω, d \notin Ω

B.

a \notin Ω, d \in Ω

C.

a \in Ω, d \notin Ω

D.

a \in Ω, d \in Ω

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

8. 设二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3})

在正交变换

x = P y

下的标准形为

2 y_{1}^{2} + y_{2}^{2} - y_{3}^{2}

，其中

P = (e_{1}, e_{2}, e_{3})

，若

Q = (e_{1}, - e_{3}, e_{2})

，则

f (x_{1}, x_{2}, x_{3})

在正交变换

x = Q y

下的标准形为

A.

2 y_{1}^{2} - y_{2}^{2} + y_{3}^{2}

B.

2 y_{1}^{2} + y_{2}^{2} - y_{3}^{2}

C.

2 y_{1}^{2} - y_{2}^{2} - y_{3}^{2}

D.

2 y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + y_{3}^{2}

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

二、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

9. 设

{\begin{cases} x = \arctan t \\ y = 3 t + t^{3} \end{cases}

，则

{\frac{d^{2} y}{d x^{2}} |}_{t = 1} =

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

10. 函数

f (x) = x^{2} \cdot 2^{x}

在

x = 0

处的

n

阶导数

f^{(n)} (0) =

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

11. 设函数

f (x)

连续，

φ (x) = \int_{0}^{x^{2}} x f (t) d t

. 若

φ (1) = 1

，

φ^{'} (1) = 5

，则

f (1) =

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

12. 设函数

y = y (x)

是微分方程

y^{''} + y^{'} - 2 y = 0

的解，且在

x = 0

处取得极值 3 ，则

y (x) =

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

13. 若函数

z = x (x, y)

由方程

e^{x + 2 y + 3 z} + x y z = 1

确定, 则

{d z |}_{(0, 0)} =

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

14. 设 3 阶矩阵

A

的特征值为

2, - 2, 1, B = A^{2} - A + E

，其中

E

为

3

阶单位矩阵，则行列式

| B | =

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

三、解答题（共 9 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

15. 设函数

f (x) = x + a \ln (1 + x) + b x \sin x, g (x) = k x^{3}

，若

f (x)

与

g (x)

在

x \to 0

时是等价无穷小，求

a, b, k

值.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

16. 设

A > 0 ， D

是由曲线段

y = A \sin x (0 \leq x \leq \frac{π}{2})

及直线

y = 0 ， x = \frac{π}{2}

所形成的平面区域，

V_{1}, V_{2}

分别表示

D

绕

x

轴与绕

y

轴旋转所成旋转体的体积. 若

V_{1} = V_{2}

，求

A

的值.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

17. 已知函数

f (x, y)

满足

f_{x y}^{''} (x, y) = 2 (y + 1) e^{x}

，

f_{x}^{'} (x, 0) = (x + 1) e^{x}, f (0, y) = y^{2} + 2 y ，

求

f (x, y)

的极值.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(2) 错题本(2) 白板加入试卷

18. 计算二重积分

\iint_{D} x (x + y) d x d y

，其中

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 2, y \geq x^{2}} .

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

19. 已知函数

f (x) = \int_{x}^{1} \sqrt{1 + t^{2}} d t + \int_{1}^{x^{2}} \sqrt{1 + t} d t

，求

f (x)

零点的个数.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

20. 已知高温物体置于低温介质中，任一时刻物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为

120^{\circ} C

的物体在

20^{\circ} C

的恒温介质中冷却， 30 min 后该物体温度降至

30^{\circ} C

，若要使物体的温度继续降至

21^{\circ} C

，还需冷却多长时间?

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

21. 已知函数

f (x)

在区间

[a, + \infty)

上具有 2 阶导数，

f (a) = 0, f^{'} (x) > 0, f^{''} (x) > 0 .

设

b > a

，曲线

y = f (x)

在点

(b, f (b))

处的切线与

x

轴的交点是

(x_{0}, 0)

，证明:

a < x_{0} < b

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

22. 设矩阵

A = (\begin{array}{ccc} a & 1 & 0 \\ 1 & a & - 1 \\ 0 & 1 & a \end{array})

且

A^{3} = 0

。
(1) 求

a

的值;
(2) 若矩阵

X

满足

X - X A^{2} - A X + A X A^{2} = E

，其中

E

为 3 阶单位矩阵，求

X

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

23. 设矩阵

A = (\begin{array}{rrr} 0 & 2 & - 3 \\ - 1 & 3 & - 3 \\ 1 & - 2 & a \end{array})

相似于矩阵

B = (\begin{array}{ccc} 1 & - 2 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{array}) .

(1) 求

a, b

的值;
(2) 求可逆矩阵

P

，使得

P^{- 1} A P

为对角矩阵

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

非会员每天可以查看15道试题。开通会员，海量试题无限制查看。

无限看试题
下载试题
组卷

开通会员

热点推荐

试卷二维码

分享此二维码到群，让更多朋友参与

试卷白板

试卷白板提供了一个简单的触摸书写板，可供老师上课、或者视频直播时，直接利用白板给学生讲解试题，如有意见，欢迎反馈。