解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求满足下述条件的最小实数 $\lambda$ : 任意正整数 $n$ 都可以写成 2023 个正整数的乘积 $n=x_1 x_2 \cdots x_{2023}$ ，使得对于每个 $i \in\{1,2, \cdots, 2023\}$ ，要么 $x_i$ 是素数，要么 $x_i \leq n^\lambda$.
求最大的实数 $C$, 使得对任意正整数 $n$ 和任意实数 $x_1, x_2$, $\cdots, x_n$ ，均有
$$
\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n(n-|j-i|) x_i x_j \geq C \sum_{i=1}^n x_i^2 .
$$
给定素数 $p \geq 5$ ，记 $\Omega=\{1,2, \cdots, p\}$. 对任意 $x, y \in \Omega$ ，定义:
$$
r(x, y)= \begin{cases}y-x, & y \geq x \\ y-x+p, & y < x\end{cases}
$$
对 $\Omega$ 的非空子集 $A$ ，定义
$$
f(A)=\sum_{x \in A} \sum_{y \in A}(r(x, y))^2 .
$$
如果 $\Omega$ 的子集 $A$ 满足 $0 < |A| < p$ ，且对于 $\Omega$ 的任意子集 $B$ ，若 $|B|=|A|$ ，则有 $f(B) \geq f(A)$ ，那么称 $A$ 是"好子集".
求最大的正整数 $L$ ，使得存在 $\Omega$ 的 $L$ 个两两不同的好子集 $A_1$, $A_2, \cdots, A_L$ ，满足 $A_1 \subseteq A_2 \subseteq \cdots \subseteq A_L$.
设非负实数 $a_1, a_2, \cdots, a_{2023}$ 满足 $a_1+a_2+\cdots+a_{2023}=100$. 定义 $N$ 为集合
$$
\left\{(i, j) \mid 1 \leq i \leq j \leq 2023, a_i a_j \geq 1\right\}
$$
的元素个数. 求证: $N \leq 5050$ ，并给出等号成立的充分必要条件.
在锐角 $\triangle A B C$ 中， $K$ 是 $B C$ 延长线上的一点. 过 $K$ 分别作 $A B, A C$ 的平行线 $K P, K Q$ ，满足 $B K=B P, C K=C Q$.设 $\triangle K P Q$ 的外接圆与 $A K$ 交于点 $T$, 求证:
(1) $\angle B T C+\angle A P B=\angle C Q A$;
(2) $A P \cdot B T \cdot C Q=A Q \cdot C T \cdot B P$.
将 $1,2, \cdots, 99$ 放置在给定的正 99 边形的所有顶点上，每个顶点处放一个数，每个数恰出现一次，称这样的一种放置方式为一个"状态". 若从一个状态可以通过平面内旋转正 99 边形得到另一个状态，则称这两个状态为"等同"的.
定义一次"操作"为选取正 99 边形的两个相邻顶点，并交换这两个顶点上的数. 求最小的正整数 $N$ ，使得对任意两个状态 $\alpha, \beta$ ，都可对 $\alpha$ 进行不超过 $N$ 次操作，得到与 $\beta$ 等同的状态.