第39届中国数学奥林匹克竞赛-无答案

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第39届中国数学奥林匹克竞赛-无答案

一、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 求满足下述条件的最小实数

λ

: 任意正整数

n

都可以写成 2023 个正整数的乘积

n = x_{1} x_{2} \dots x_{2023}

，使得对于每个

i \in {1, 2, \dots, 2023}

，要么

x_{i}

是素数，要么

x_{i} \leq n^{λ}

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2. 求最大的实数

C

, 使得对任意正整数

n

和任意实数

x_{1}, x_{2}

\dots, x_{n}

，均有

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} (n - | j - i |) x_{i} x_{j} \geq C \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} .

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3. 给定素数

p \geq 5

，记

Ω = {1, 2, \dots, p}

. 对任意

x, y \in Ω

，定义:

r (x, y) = {\begin{cases} y - x, & y \geq x \\ y - x + p, & y < x \end{cases}

对

Ω

的非空子集

A

，定义

f (A) = \sum_{x \in A} \sum_{y \in A} (r (x, y))^{2} .

如果

Ω

的子集

A

满足

0 < | A | < p

，且对于

Ω

的任意子集

B

，若

| B | = | A |

，则有

f (B) \geq f (A)

，那么称

A

是"好子集".

求最大的正整数

L

，使得存在

Ω

的

L

个两两不同的好子集

A_{1}

A_{2}, \dots, A_{L}

，满足

A_{1} \subseteq A_{2} \subseteq \dots \subseteq A_{L}

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4. 设非负实数

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{2023}

满足

a_{1} + a_{2} + \dots + a_{2023} = 100

. 定义

N

为集合

{(i, j) ∣ 1 \leq i \leq j \leq 2023, a_{i} a_{j} \geq 1}

的元素个数. 求证:

N \leq 5050

，并给出等号成立的充分必要条件.

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5. 在锐角

△ A B C

中，

K

是

B C

延长线上的一点. 过

K

分别作

A B, A C

的平行线

K P, K Q

，满足

B K = B P, C K = C Q

.设

△ K P Q

的外接圆与

A K

交于点

T

, 求证:
(1)

∠ B T C + ∠ A P B = ∠ C Q A

;
(2)

A P \cdot B T \cdot C Q = A Q \cdot C T \cdot B P

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6. 将

1, 2, \dots, 99

放置在给定的正 99 边形的所有顶点上，每个顶点处放一个数，每个数恰出现一次，称这样的一种放置方式为一个"状态". 若从一个状态可以通过平面内旋转正 99 边形得到另一个状态，则称这两个状态为"等同"的.

定义一次"操作"为选取正 99 边形的两个相邻顶点，并交换这两个顶点上的数. 求最小的正整数

N

，使得对任意两个状态

α, β

，都可对

α

进行不超过

N

次操作，得到与

β

等同的状态.

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