单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
某旅行社为迎节日搞活动旅游, 经市场调查, 某旅游线路销量 $Y$ (人) 与旅游价格 $X$ (元/人) 负相关, 则其回归直线方程可能是
$\text{A.}$ $Y=-80 X+1600$
$\text{B.}$ $Y=80 X+1600$
$\text{C.}$ $Y=-80 X-1600$
$\text{D.}$ $Y=80 X-1600$
已知复数列 $\left\{z_n\right\}$ 满足 $z_n=\mathrm{i}^n$ ( $\mathrm{i}$ 为虚数单位), 则 $\left\{z_n\right\}$ 的前 10 项和是
$\text{A.}$ $1+\mathrm{i}$
$\text{B.}$ $1-\mathrm{i}$
$\text{C.}$ $-1+\mathrm{i}$
$\text{D.}$ $-1-\mathrm{i}$
棱柱的相邻两个侧面是矩形 是 “该棱柱为直棱柱” 的
$\text{A.}$ 充分不必要条件
$\text{B.}$ 必要不充分条件
$\text{C.}$ 充要条件
$\text{D.}$ 既不充分又不必要条件
斐波那契数列指的是这样一个数列 $\left\{F_n\right\}: F_1=F_2=1, F_n=F_{n-1}+F_{n-2}(n \geq 3)$, 记 $F_n$ 除以 4 的余数为 $G_n$, 则 $G_{2024}=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
曼哈顿距离 (Manhattan Distance) 是由十九世纪的赫尔曼 - 闵可夫斯基所创词汇, 是种使用在几何度量空间的几何学用语, 用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和. 同一平面上的两点 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$, 其 “曼哈顿距离”
$d_{A B}=\left|x_1-x_2\right|+\left|y_1-y_2\right|$
则所有与点 $(1,2)$ 的 “曼哈顿距离” 等于 2 的点构成的图形的周长为
$\text{A.}$ 8
$\text{B.}$ $8 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ $4 \sqrt{2}$
已知以 $O$ 为中心的椭圆 $\Omega$, 其一个长轴顶点为 $M, N$ 是 $\Omega$ 的一个靠近 $M$ 的焦点, 点 $P$ 在 $\Omega$ 上,设 $\omega_1$ 是以 $P N$ 为直径的圆, $\omega_2$ 是以 $O M$ 为半径的圆, 则 $\omega_1$ 与 $\omega_2$ 的位置关系为
$\text{A.}$ 相切
$\text{B.}$ 相交
$\text{C.}$ 相离
$\text{D.}$ 无法确定
将函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}x e^x, x \leq 0 \\ \ln x-x+1, x>0\end{array}\right.$ 向下平移 $m(m \in R)$ 个单位长度得到 $g(x)$. 若 $g(x)$ 有两个零点 $x_1, x_2\left(x_1 < x_2\right)$, 则 $x_1+x_2$ 的值不可能是
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $e^2-\frac{1}{e}$
$\text{C.}$ $e^{-\frac{1}{e}}+1$
$\text{D.}$ $e^{-\frac{1}{e}}-1$
过正四面体 $A B C D$ 的顶点 $A$ 作截面, 若满足: (1)截面是等腰三角形: (2)截面与底面 $B C D$ 成 $75^{\circ}$ 的二面角. 这样的截面个数为
$\text{A.}$ 6
$\text{B.}$ 12
$\text{C.}$ 18
$\text{D.}$ 24
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
在正六边形 $A B C D E F$ 中,
$\text{A.}$ $\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A E}=\overrightarrow{B F}$
$\text{B.}$ $\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{A E}=3 \overrightarrow{A D}$
$\text{C.}$ $\overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{A B}=|\overrightarrow{A B}|^2$
$\text{D.}$ $\overrightarrow{A D}$ 在 $\overrightarrow{A C}$ 上的投影向量为 $\overrightarrow{A C}$
已知直线 $A C$ 与 $B D$ 经过坐标原点 $O$, 且 $A C \perp B D, A, B, C, D$ 均在圆 $P: x^2-6 x+y^2-8 y-9=0$上, 则以下说法正确的有
$\text{A.}$ 圆心 $P$ 到直线 $A C$ 的距离的最小值为 5
$\text{B.}$ 弦 $A B, B C, C D, D A$ 的中点满足四点共圆
$\text{C.}$ 四边形 $A B C D$ 的面积的取值范围是 $[6 \sqrt{34}, 43]$
$\text{D.}$ $6|O A|+3|O C| \geq 2 \sqrt{2}|O A| \cdot|O C|$
对正整数 $N$, 若其不能被任意一个完全平方数整除, 则称其为 “无平方因子数”, 并记其的素因子个数为 $d_n$. 由所有 “无平方因子数” 构成的集合记作 $S$. 则数论函数 “缪比乌斯函数” 定义如下
$$
\mu(n)=\left\{\begin{array}{c}
1, n=1 \\
(-1)^{d_n}, n \in S \\
0, n \notin S
\end{array}\right.
$$
则下列运算正确的有
$\text{A.}$ $\mu(1)+\mu(2)=0$
$\text{B.}$ $\mu(1)+\mu(2)+\mu(4)=1$
$\text{C.}$ $\mu(1)+\mu(2)+\mu(4)+\mu(8)=0$
$\text{D.}$ $\mu(1)+\mu(2)+\cdots+\mu\left(2^n\right)=1(n \geq 4)$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知针角 $\triangle A B C$ 的面积为 $3, A B=4, A C=1$, 则 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}$ 的值是
若函数 $f(x)=\left(x^2-6 x+m\right)\left(e^{x-3}+e^{3-x}-n\right)$ 的四个零点是以 0 为首项的等差数列, 则 $m+n=$
若一个三位数中的任意两个相邻数码的差不超过 1 , 则称其为 “平稳数”, 则所有 “平稳数” 的个数为
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$, 且 $\tan A+\tan B-\sqrt{3} \tan A \tan B+\sqrt{3}=0$.
(1) 求 $C$;
(2) 若 $a+b=4$, 求 $\triangle A B C$ 面积 $S$ 的最大值.
如图 1, 已知正方体 $A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 的棱长为 $2, M$ 为 $B B^{\prime}$ 的中点, $N$为 $D C$ 的中点.
(1) 证明: $B N / /$ 平面 $D M C^{\prime}$;
(2) 求平面 $D M C^{\prime}$ 与平面 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 夹角的余弦值.
已知抛物线 $y^2=2 x$, 直线 $l: y=x-4$, 且点 $B, D$ 在抛物线上.
(1) 若点 $A, C$ 在直线 $l$ 上, 且四边形 $A B C D$ 是菱形, 求直线 $B D$ 的方程;
(2) 若点 $A$ 为抛物线和直线 $l$ 的交点 (位于 $x$ 轴下方), 点 $C$ 在直线 $l$ 上, 且四边形 $A B C D$ 是菱形,求直线 $B D$ 的斜率.
已知函数 $f(x)=a^x-\log _a x, a \in(0,1) \cup(1,+\infty)$.
(1) 若 $a=e$, 求 $y=f(x)$ 过点 $(0,1)$ 的切线方程;
(2) 若 $f(x)$ 在其定义域上没有零点, 求 $a$ 的取值范围.
概率论中有很多经典的不等式, 其中最著名的两个当属由两位俄国数学家马尔科夫和切比雪夫分别提出的马尔科夫 (Markov) 不等式和切比雪夫 (Chebyshev) 不等式. 马尔科夫不等式的形式如下:
设 $X$ 为一个非负随机变量, 其数学期望为 $E(X)$, 则对任意 $\varepsilon>0$, 均有
$P(X \geq \varepsilon) \leq \frac{E(X)}{\varepsilon}$
马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界, 阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期望间的关系. 当 $X$ 为非负离散型随机变量时, 马尔科夫不等式的证明如下:
设 $X$ 的分布列为 $P\left(X=x_i\right)=p_i(i=1,2, \ldots, n)$ 其中 $p_i \in(0,+\infty), p_1+p_2+\cdots+p_n=1, x_i \in$ $[0,+\infty)$, 则对任意 $\varepsilon>0$,
$$
P(X \geq \varepsilon)=\sum_{x_i \geq \varepsilon} p_i \leq \sum_{x_i \geq \varepsilon} \frac{x_i}{\varepsilon} p_i=\frac{1}{\varepsilon} \sum_{x_i \geq \varepsilon} x_i p_i \leq \frac{1}{\varepsilon} \sum_{i=1}^n x_i p_i=\frac{E(X)}{\varepsilon}
$$
其中符号
$\sum_{x_i \geq \varepsilon} A_i$
表示对所有满足 $x_i \geq \varepsilon$ 的指标 $i$ 所对应的 $A_i$ 求和.
切比雪夫不等式的形式如下:
设随机变量的 $X$ 数学期望为 $E(X)$, 方差为 $D(X)$, 则对任意 $\varepsilon>0$, 均有
$P(|X-E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{D(X)}{\varepsilon^2}$
【类比探究】
(1) 根据以上参考资料, 证明切比雪夫不等式对离散型随机变量 $X$ 成立;
【实际应用】
(2) 已知正整数 $n \geq 5$. 在一次抽奖游戏中, 有 $n$ 个不透明的箱子依次编号为 $1,2, \ldots, n$, 编号为 $i(1 \leq i \leq n)$ 的箱子中装有编号为 $0,1, \ldots, i$ 的 $i+1$ 个大小、质地均相同的小球. 主持人邀请 $n$ 位嘉宾从每个箱子中随机抽取一个球, 记从编号为 $i$ 的箱子中抽取的小球号码为 $X_i$, 并记
$X=\sum_{i=1}^n \frac{X_i}{i}$
对任意的 $n$, 是否总能保证 $P(X \leq 0.1 n) \geq 0.01$ (假设嘉宾和箱子数能任意多) ? 并证明你的结论.
【理论拓展】
(3) 已知 $n$ 重伯努利试验中每次试验中事件 $A$ 出现的概率 $P=0.75$, 请用切比雪夫不等式估计 $n$, 使得事件 $A$ 出现的频率在 0.74 和 0.76 之间的概率不低于 0.90 .