概率论中有很多经典的不等式, 其中最著名的两个当属由两位俄国数学家马尔科夫和切比雪夫分别提出的马尔科夫 (Markov) 不等式和切比雪夫 (Chebyshev) 不等式. 马尔科夫不等式的形式如下:
设 $X$ 为一个非负随机变量, 其数学期望为 $E(X)$, 则对任意 $\varepsilon>0$, 均有
$P(X \geq \varepsilon) \leq \frac{E(X)}{\varepsilon}$
马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界, 阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期望间的关系. 当 $X$ 为非负离散型随机变量时, 马尔科夫不等式的证明如下:
设 $X$ 的分布列为 $P\left(X=x_i\right)=p_i(i=1,2, \ldots, n)$ 其中 $p_i \in(0,+\infty), p_1+p_2+\cdots+p_n=1, x_i \in$ $[0,+\infty)$, 则对任意 $\varepsilon>0$,
$$
P(X \geq \varepsilon)=\sum_{x_i \geq \varepsilon} p_i \leq \sum_{x_i \geq \varepsilon} \frac{x_i}{\varepsilon} p_i=\frac{1}{\varepsilon} \sum_{x_i \geq \varepsilon} x_i p_i \leq \frac{1}{\varepsilon} \sum_{i=1}^n x_i p_i=\frac{E(X)}{\varepsilon}
$$
其中符号
$\sum_{x_i \geq \varepsilon} A_i$
表示对所有满足 $x_i \geq \varepsilon$ 的指标 $i$ 所对应的 $A_i$ 求和.
切比雪夫不等式的形式如下:
设随机变量的 $X$ 数学期望为 $E(X)$, 方差为 $D(X)$, 则对任意 $\varepsilon>0$, 均有
$P(|X-E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{D(X)}{\varepsilon^2}$
【类比探究】
(1) 根据以上参考资料, 证明切比雪夫不等式对离散型随机变量 $X$ 成立;
【实际应用】
(2) 已知正整数 $n \geq 5$. 在一次抽奖游戏中, 有 $n$ 个不透明的箱子依次编号为 $1,2, \ldots, n$, 编号为 $i(1 \leq i \leq n)$ 的箱子中装有编号为 $0,1, \ldots, i$ 的 $i+1$ 个大小、质地均相同的小球. 主持人邀请 $n$ 位嘉宾从每个箱子中随机抽取一个球, 记从编号为 $i$ 的箱子中抽取的小球号码为 $X_i$, 并记
$X=\sum_{i=1}^n \frac{X_i}{i}$
对任意的 $n$, 是否总能保证 $P(X \leq 0.1 n) \geq 0.01$ (假设嘉宾和箱子数能任意多) ? 并证明你的结论.
【理论拓展】
(3) 已知 $n$ 重伯努利试验中每次试验中事件 $A$ 出现的概率 $P=0.75$, 请用切比雪夫不等式估计 $n$, 使得事件 $A$ 出现的频率在 0.74 和 0.76 之间的概率不低于 0.90 .