单选题 （共 9 题 ），每题只有一个选项正确
直线 $x-\sqrt{3} y+2=0$ 的倾斜角为
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{2 \pi}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{5 \pi}{6}$
准线为 $x=-2$ 的抛物线的标准方程是
$\text{A.}$ $y^2=-4 x$
$\text{B.}$ $y^2=-8 x$
$\text{C.}$ $y^2=4 x$
$\text{D.}$ $y^2=8 x$
等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$, 若 $a_1=2, S_3=12$, 则 $a_6=$
$\text{A.}$ 8
$\text{B.}$ 10
$\text{C.}$ 12
$\text{D.}$ 14
在四面体 $O-A B C$ 中, $\overrightarrow{O P}=2 \overrightarrow{P A}, Q$ 是 $B C$ 的中点, 且 $M$ 为 $P Q$ 的中点, 若 $\overrightarrow{O A}=\vec{a}, \overrightarrow{O B}=\vec{b}, \overrightarrow{O C}=\vec{c}$,
则 $\overrightarrow{O M}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{4} \vec{a}+\frac{1}{6} \vec{b}+\frac{1}{6} \vec{c}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{6} \vec{a}+\frac{1}{4} \vec{b}+\frac{1}{3} \vec{c}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2} \vec{a}+\frac{1}{6} \vec{b}+\frac{1}{4} \vec{c}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{3} \vec{a}+\frac{1}{4} \bar{b}+\frac{1}{4} \bar{c}$
已知直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{a}$, 平面 $a$ 的法向量为 $\vec{n}$, 若 $\vec{a}=(-1,0,-1), \vec{n}=(1,0,1)$, 则直线 $l$ 与平面 $a$
$\text{A.}$ 垂直
$\text{B.}$ 平行
$\text{C.}$ 相交但不垂直
$\text{D.}$ 位置关系无法解定
到直线 $3 x-4 y-11=0$ 的距离为 1 的直线方程为
$\text{A.}$ $3 x-4 y-1=0$
$\text{B.}$ $3 x-4 y-6=0$ 或 $3 x-4 y-16=0$
$\text{C.}$ $3 x-4 y+1=0$ 或 $3 x-4 y-1=0$
$\text{D.}$ $3 x-4 y+16=0$ 或 $3 x-4 y-3=0$
数列 $\left\{a_n\right\}$ 中, $a_1=1$, 且 $a_{n+1}=a_n+2^n$, 则 $a_9=$
$\text{A.}$ 1024
$\text{B.}$ 1023
$\text{C.}$ 510
$\text{D.}$ 511
圆 $x^2+y^2-4 x-4 y-10=0$ 上的点到直线 $x+y-14=0$ 的最大距离是
$\text{A.}$ 36
$\text{B.}$ $8 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ 18
$\text{D.}$ $6 \sqrt{2}$
已知 $P$ 为双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 上一点, $A(0, b), B$ 为 $C$ 的右焦点, 若 ${A P}={P B}$, 则 $C$ 的离心率为
$\text{A.}$ $\sqrt{2}$
$\text{B.}$ $\sqrt{3}$
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ $\sqrt{5}$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
在数列 $1, \frac{3}{4}, \frac{2}{3}, \frac{5}{8}, \cdots, \frac{n+1}{2 n}, \cdots$ 中, $\frac{7}{12}$ 是它的第 ________ 项.
已知直线 $l_1: 2 x+m y+1=0$ 与 $l_2: 3 x-y-1=0$ 平行, 则 $m$ 的值为
经过点 $A(3,-1)$, 并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为
若圆 $C_1: x^2+y^2=1$ 与圆 $C_2: x^2+y^2-6 x-8 y+m=0$ 外切, 则实数 $m$ 的值为
已知直线 $y=m x+3$ 与圆 $C: x^2+y^2=4$ 交于 $\mathrm{A}, B$ 两点, 写出满足 “ $\triangle A B C$ 是等边三角形”的 $m$ 的一个值
设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式为 $a_n=2 n-1$, 记数列 $\left\{\frac{1}{a_n a_{n+1}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$, 若对任意的 $n \in \mathbf{N}^*$, 不等式$4 T_n < a^2-a$ 恒成立, 财实数 $a$ 的取值范围为
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知圆 $C: x^2+y^2-2 y-4=0$, 直线 $l: m x-y+1-m=0(m \in \mathbf{R})$.
(1)写出圆 $C$ 的圆心坐标和半径, 并判断直线 $l$ 与圆 $C$ 的位置关系;
(2)设直线 $l$ 与圆 $C$ 交于 $A 、 B$ 两点, 若直线 $l$ 的㑔斜角为 $120^{\circ}$, 求弦 $A B$ 的长
已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_5=9$, 其前 11 项和 $S_{11}=121$; 数列 $\left\{b_n\right\}$ 是单调递増的等比数列, 且满足 $b_1+b_4=9, b_2 b_3=8$.
(1)求数列 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式.
(2)求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 顶和 $T_n$.
如图, 在四掕锥 $P-A B C D$ 中, $P A \perp$ 平面 $A B C D, A B / / C D$, 且 $A B=1, C D=2$, $B C=2 \sqrt{2}, P A=1, A B \perp B C, N$ 为 $P D$ 的中点.
(1)求证: $A N / /$ 平面 $P B C$;
(2)求平面 $P D C$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值.
已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 前 $n$ 顶和为 $S_n\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right)$, 数列 $\left\{b_n\right\}$ 是等比数列, $a_1=3, b_1=1$, $b_2+S_2=10, a_5-2 b_2=a_3$.
(1)求数列 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式;
(2)若 $c_n=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{S_n}, n \text { 为奇数 } \\ 2 a_n b_n, n \text { 为偶数 }\end{array}\right.$, 设数列 $\left\{c_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$, 求 $T_n$.
已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的一个顶点为 $D(0,-1)$, 离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(1)求椭圆的方程;
(2)过椭圆右焦点且斜率为 $k(k \neq 0)$ 的直线 $m$ 与椭圆相交于两点 $A, B$, 与 $y$ 轴交于点 $E$, 线段 $A B$ 的中点为 $P$,直线 $l$ 过点 $E$ 且垂直于 $O P$ (其中 $O$ 为原点), 证明直线 $l$ 过定点.