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已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的一个顶点为 $D(0,-1)$, 离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(1)求椭圆的方程;
(2)过椭圆右焦点且斜率为 $k(k \neq 0)$ 的直线 $m$ 与椭圆相交于两点 $A, B$, 与 $y$ 轴交于点 $E$, 线段 $A B$ 的中点为 $P$,直线 $l$ 过点 $E$ 且垂直于 $O P$ (其中 $O$ 为原点), 证明直线 $l$ 过定点.
                        
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