单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知复数 $z=(1+\mathrm{i})(2+3 \mathrm{i})$ ，则 $\bar{z}=$
$\text{A.}$ $-1+5 i$
$\text{B.}$ $-1-5 \mathrm{i}$
$\text{C.}$ $5+5 \mathrm{i}$
$\text{D.}$ $5-5 \mathrm{i}$
已知集合 $A=\left\{x \mid x^2-x-6 < 0\right\}, B=\{x \mid 2-x>1\}$ ，则 $A \cap B=$
$\text{A.}$ $\{x \mid 1 < x < 3\}$
$\text{B.}$ $\{x \mid 1 < x < 2\}$
$\text{C.}$ $\{x \mid-2 < x < 1\}$
$\text{D.}$ $\{x \mid-3 < x < 1\}$
已知 $\sin 2 \alpha=\frac{4}{5}$ ，则 $\tan \alpha=$
$\text{A.}$ $\frac{4}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{4}{3}$ 或 $\frac{3}{4}$
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 2 或 $\frac{1}{2}$
已知 $a^2>b^2$ ，则＂$a+b>0$＂是＂$a>b$＂的
$\text{A.}$ 充要条件
$\text{B.}$ 充分不必要条件
$\text{C.}$ 必要不充分条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
已知 $a=0.9^{0.2}, b=1.4^{0.9}, c=\log _2 3$ ，则
$\text{A.}$ $c>a>b$
$\text{B.}$ $c>b>a$
$\text{C.}$ $a>b>c$
$\text{D.}$ $b>a>c$
已知函数 $f(x)=\sqrt{3} \sin 2 x+2 \sin ^2 x$ ，则
$\text{A.}$ $f(x)$ 的最大值是 $\sqrt{3}+1$
$\text{B.}$ $f(x)$ 的图象关于直线 $x=\frac{\pi}{6}$ 对称
$\text{C.}$ $f(x)$ 的图象关于点 $\left(\frac{\pi}{12}, 0\right)$ 中心对称
$\text{D.}$ $f(x)$ 的单调递增区间为 $\left[k \pi-\frac{\pi}{6}, k \pi+\frac{\pi}{3}\right](k \in \mathbf{Z})$
已知 $a>0, b>0$ ，且 $a+b=2$ ，则 $\frac{2}{a}+\frac{4 a}{b}$ 的最小值是
$\text{A.}$ $4 \sqrt{2}+1$
$\text{B.}$ $4 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ 5
$\text{D.}$ 4
已知某圆柱的上、下底面圆的圆周都在半径为 4 的球 $O$ 的表面上，则该圆柱体积的最大值是
$\text{A.}$ $\frac{128 \sqrt{3} \pi}{27}$
$\text{B.}$ $\frac{128 \sqrt{3} \pi}{9}$
$\text{C.}$ $\frac{256 \sqrt{3} \pi}{27}$
$\text{D.}$ $\frac{256 \sqrt{3} \pi}{9}$
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
已知向量 $\boldsymbol{a}=(m,-3), \boldsymbol{b}=(2, n)$ ，则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 若 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(5,4)$ ，则 $m+n=10$
$\text{B.}$ 若 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=5$ ，则 $2 m-3 n=5$
$\text{C.}$ 若 $|\boldsymbol{a}|=5$ ，则 $m=4$
$\text{D.}$ 若 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$ ，则 $m n+6=0$
在棱长为 4 的正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，$E$ 是棱 $A_1 B_1$ 的中点，点 $F$ 在线段 $B_1 D_1$ 上，点 $G$ 在四边形 $C_1 C D D_1$（包含边）内，且 $E G / /$ 平面 $B_1 C D_1$ ，则
$\text{A.}$ $C F$ 的最小值是 $2 \sqrt{3}$
$\text{B.}$ 三棱锥 $G-B_1 C D_1$ 的体积为定值
$\text{C.}$ 点 $G$ 的轨迹长度为 $2 \sqrt{2}$
$\text{D.}$ $(C F+E F)^2$ 的最小值为 $28+8 \sqrt{3}$
定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $f(x), g(x)$ 满足 $f(x)+g(x+1)=-1, f(x+1)-g(x)=3$ ．若 $f(x)$的图象关于直线 $x=1$ 对称，且 $f(-1)=-1$ ，则
$\text{A.}$ $f(2025)=3$
$\text{B.}$ $g(x)$ 的最小正周期为 8
$\text{C.}$ $f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(2025)=2027$
$\text{D.}$ $g(1)+g(2)+g(3)+\cdots+g(2025)=-4050$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知函数 $f(x)=x^3-\ln x$ ，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程是
某勘测队在野外作业时，需要测量 $A, B$ 两地（视作质点）之间的距离，勘测人员选定 $C$ 地 （视作质点），测得 $A, C$ 两地之间的距离是 2 千米，同时测得 $\angle B A C=45^{\circ}, \angle A C B=60^{\circ}$ ，则 $A, B$ 两地之间的距离是 $\_\_\_\_$千米
已知 $A, B$ 是圆 $C: x^2+y^2-6 x+8 y+16=0$ 上的两点，且 $|A B|=4 \sqrt{2}, O$ 为坐标原点，则 $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，且 $a_2=5, S_9=99$ ．
（1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）设 $b_n=2^{a_n}+a_n$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．
已知函数 $f(x)=4 \cos (\omega x+\varphi)(\omega>0,0 < \varphi < \pi)$ 的部分图象如图所示．
（1）求 $f(x)$ 的解析式；
（2）将 $f(x)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度，得到函数 $g(x)$ 的图象，求 $g(x)$ 在 $\left[-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{12}\right]$上的值域．
已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$ ，若对任意 $x \in D$ ，都有 $f(a-x)+f(a+x)=2 b$ ，则函数 $f(x)$ 的图象关于点 $(a, b)$ 成中心对称图形，点 $(a, b)$ 是函数 $f(x)$ 图象的对称中心．已知函数 $f(x)=\frac{2^{2 x-1}}{4^{x-1}+1}, g(x)=\frac{x^2-x+1}{x-1}$ ．
（1）证明：$f(x)$ 的图象关于点 $(1,1)$ 成中心对称图形．
（2）求 $g(x)$ 图象的对称中心．
（3）设函数 $h(x)=f(x)+g(x)$ ，将区间 $(-2,4)$ 分成 $(2 n+1)$ 等份，记等分点的横坐标按从小到大的顺序依次为 $x_1, x_2, \cdots, x_{2 n-1}, x_{2 n}$ ，若不等式 $h\left(x_1\right)+h\left(x_2\right)+h\left(x_3\right)+\cdots+ h\left(x_{2 n}\right)>2 m+9$ 对任意 $m \in(-2,4)$ 恒成立，求整数 $n$ 的最小值．
如图，在平面四边形 $A B C D$ 中，$B C=C D=2 A B, A D=3 A B$ ．
（1）证明： $3 \cos A-4 \cos C=1$ ．
（2）当 $A B=2$ 时，求四边形 $A B C D$ 面积的最大值．
（3）若 $A=60^{\circ}, A B=2$ ，点 $P$ 在四边形 $A B C D$ 所在平面内，求 $P A+P B+P D$ 的最小值．
已知函数 $f(x)=\ln x-x-a$ ，且 $f(x)$ 有两个零点 $x_1, x_2$ ．
（1）求 $a$ 的取值范围；
（2）证明：$x_1^2+x_1 x_2+x_2^2>3$ ．