已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$ ，若对任意 $x \in D$ ，都有 $f(a-x)+f(a+x)=2 b$ ，则函数 $f(x)$ 的图象关于点 $(a, b)$ 成中心对称图形，点 $(a, b)$ 是函数 $f(x)$ 图象的对称中心．已知函数 $f(x)=\frac{2^{2 x-1}}{4^{x-1}+1}, g(x)=\frac{x^2-x+1}{x-1}$ ．
（1）证明：$f(x)$ 的图象关于点 $(1,1)$ 成中心对称图形．
（2）求 $g(x)$ 图象的对称中心．
（3）设函数 $h(x)=f(x)+g(x)$ ，将区间 $(-2,4)$ 分成 $(2 n+1)$ 等份，记等分点的横坐标按从小到大的顺序依次为 $x_1, x_2, \cdots, x_{2 n-1}, x_{2 n}$ ，若不等式 $h\left(x_1\right)+h\left(x_2\right)+h\left(x_3\right)+\cdots+ h\left(x_{2 n}\right)>2 m+9$ 对任意 $m \in(-2,4)$ 恒成立，求整数 $n$ 的最小值．