单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $x-a z=e^{y+a z}$（ $a$ 是非 0 常数）确定，则
$\text{A.}$ $\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{a}$
$\text{B.}$ $\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{a}$
$\text{C.}$ $\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{1}{a}$
$\text{D.}$ $\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{1}{a}$
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3+(-1)^n}{4}\right)^n x^{2 n}$ 的收敛域是
$\text{A.}$ $[-2,2]$
$\text{B.}$ $[-1,1]$
$\text{C.}$ $(-2,2)$
$\text{D.}$ $(-1,1)$
设函数 $f(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上有定义，则
$\text{A.}$ 当 $f(x)$ 在 $(-1,0)$ 单调递减，在 $(0,1)$ 单调递增时，$f(0)$ 是极小值
$\text{B.}$ 当 $f(0)$ 是极小值时，$f(x)$ 在 $(-1,0)$ 单调递减，在 $(0,1)$ 单调递增
$\text{C.}$ 当 $f(x)$ 的图形在 $[-1,1]$ 是凹的时，$\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$ 在 $[-1,1)$ 单调递增
$\text{D.}$ $\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$ 在 $[-1,1)$ 单调递增时，$f(x)$ 的图形在 $[-1,1]$ 是凹的
已知有界区域 $\Omega$ 由曲面 $z=\sqrt{4-x^2-y^2}$ 与 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 围成，函数 $f(u)$ 连续，则 $\iiint_{\Omega} f\left(x^2+y^2+z^2\right) d x d y d z=$
$\text{A.}$ $\int_0^{2 \pi} d \theta \int_0^2 d r \int_r^{\sqrt{4-r^2}} f\left(r^2+z^2\right) r d z$
$\text{B.}$ $\int_0^{2 \pi} d \theta \int_0^{\sqrt{2}} d r \int_0^{\sqrt{4-r^2}} f\left(r^2+z^2\right) r d z$
$\text{C.}$ $\int_0^{2 \pi} d \theta \int_0^{\frac{\pi}{4}} d \varphi \int_0^2 f\left(r^2\right) r^2 \sin \varphi d r$
$\text{D.}$ $\int_0^{2 \pi} d \theta \int_0^{\frac{\pi}{2}} d \varphi \int_0^2 f\left(r^2\right) r^2 \sin \varphi d r$
单位矩阵经过若干次互换两行得到的矩阵成为置换矩阵，设 $A$ 为 $n$ 阶置换矩阵，$A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵，则
$\text{A.}$ $A^*$ 为置换矩阵
$\text{B.}$ $A^{-1}$ 为置换矩阵
$\text{C.}$ $A^{-1}=A^*$
$\text{D.}$ $A^{-1}=-A^*$
设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，$\beta$ 是 $n$ 维列向量，若 $A$ 的列向量组可由 $B$ 的列向量组表示，则
$\text{A.}$ 当 $A x=\beta$ 有解时，$B x=\beta$ 有解
$\text{B.}$ 当 $A^T x=\beta$ 有解时，$B^T x=\beta$ 有解
$\text{C.}$ 当 $B x=\beta$ 有解时，$A x=\beta$ 有解
$\text{D.}$ 当 $B^T x=\beta$ 有解时，$A^T x=\beta$ 有解
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=a\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)+4 x_1 x_2+4 x_1 x_3+4 x_2 x_3$ ．若方程 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=-1$ 表示的曲面为圆柱面，则
$\text{A.}$ $a=-4$ ，且 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的规范型为 $-y_1^2-y_2^2-y_3^2$ ．
$\text{B.}$ $a=-4$ ，且 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 在正交变换下的标准型为 $-6 y_1^2-6 y_2^2$
$\text{C.}$ $a=2$ ，且 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的规范型为 $-y_1^2-y_2^2-y_3^2$
$\text{D.}$ $a=2$ ，且 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 在正交变换下的标准型为 $-6 y_1^2-6 y_2^2$
设随机变量 $X \sim N(1,2)$ ，令 $f(t)=E\left[(X+t)^2\right]$ ，则 $f(t)$ 的最小值点和最小值分别为
$\text{A.}$ 1,2
$\text{B.}$ 1,4
$\text{C.}$ $-1,2$
$\text{D.}$ $-1,4$
设连续型随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$ ，随机变量 $Y$ 的分布函数为 $F(a y+b), X$ 的数学期望为 $\mu$ ，方差为 $\sigma^2(\sigma>0)$ ，若 $Y$ 的数学期望和方差分别为 0 和 1 ，则
$\text{A.}$ $a=\sigma, b=\mu$
$\text{B.}$ $a=\sigma, b=-\mu$
$\text{C.}$ $a=\frac{1}{\sigma}, b=\mu$
$\text{D.}$ $a=\frac{1}{\sigma}, \quad b=-\mu$
设随机变量 $X$ 的概率分布为 $P\{X=k\}=\frac{1}{2^{k+1}}+\frac{1}{3^k}(k=1,2, \ldots)$ ，则对于正整数 $m 、 n$ 有
$\text{A.}$ $P\{X>m+n \mid X>m\}=P\{X>m\}$
$\text{B.}$ $P\{X>m+n \mid X>m\}=P\{X>n\}$
$\text{C.}$ $P\{X>m+n \mid X>m\}>P\{X>m\}$
$\text{D.}$ $P\{X>m+n \mid X>m\}>P\{X>n\}$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设向量 $\overrightarrow{v_1}=(0, x, z), \overrightarrow{v_2}=(y, 0,1)$ ，令 $\vec{F}(x, y, z)=\overrightarrow{v_1} \times \overrightarrow{v_2}$ ，则 $\operatorname{div} \vec{F}=$
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{\ln (1+x)}{x \sin x}\right)=$
设函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \sin ^2 t \\ y=t+\cos t\end{array}\left(t \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\right)\right.$ 确定，则 $\left.\frac{d^2 y}{d x^2}\right|_{t=\frac{\pi}{4}}=$
设 $\int_1^{+\infty} \frac{\ln (x+1)}{x^2} \mathrm{~d} x=$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 & a & 2 \\ 0 & 2 & a\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}a & -1 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \\ -1 & -1 & a\end{array}\right)$ ，记 $m(X)$ 为 3 阶矩阵 $X$ 的实特征值中的最大值，若 $m(A) < m(B)$ ，则 $a$ 的取值范围为
设随机变量 $X$ 服从参数为 1 的泊松分布，随机变量 $Y$ 服从参数为 3 的泊松分布，$X$ 与 $Y-X$ 相互独立，则 $E(X Y)=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $f(x, y)=\left(2 x^2-y^2\right) e^x$ 的极值．
设 $f(u)$ 在 $(0,+\infty)$ 内具有 3 阶连续导数，且存在可微函数 $F(x, y)$ 使
$$
d F(x, y)=\frac{f(x y)}{x^2 y} d x+\frac{f^{\prime \prime}(x y)}{x y^2} d y(x y>0) .
$$
（1）证明：$\frac{f^{\prime \prime}(u)}{u}-\frac{f(u)}{u}=c, c$ 为常数；
（2）设 $f(1)=1, f^{\prime}(1)=-1, f^{\prime \prime}(1)=0$ ，求 $f(u)$ 的表达式．
设有向曲线 $L$ 为椭圆 $x^2+3 y^2=1$ 上沿逆时针方向从点 $A\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$ 到点 $B\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ 的部分，计算曲线积分 $I=\int_L\left(e^{x^2} \sin x-2 x y\right) d x+\left(6 x-x^2-y \cos ^4 y\right) d y$ ．
设可导函数 $f(x)$ 严格单调递增且满足 $\int_{-1}^1 f(x) d x=0$ ，记 $a=\int_0^1 f(x) d x$ ．
（1）证明 $a>0$ ；
（2）令 $F(x)=a\left(1-x^2\right)+\int_1^x f(t) d t$ ，证明：存在 $\xi \in(-1,1)$ 使 $F^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
已知向量组 $\alpha_1=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1 \\ -1\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0 \\ -2\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{c}0 \\ -1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right), \alpha_4=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)$ ，记 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\right)$ ， $G=\left(\alpha_1, \alpha_2\right)$
（1）证明：$\alpha_1, \alpha_2$ 是 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 的极大线性无关组．
（2）求矩阵 $H$ 使得 $A=G H$ ，并求 $A^{10}$ ．
假设某种元件寿命服从指数分布，其均值 $\theta$ 是未知参数，为估计 $\theta$ ，取 $n$ 个这种元件同时做寿命实验，试验直到出现 $k(1 \leq k \leq n)$ 个元件失效时停止．
（1）若 $k=1$ ，失效元件寿命记为 $T$ ，（i）求 $T$ 的概率密度；（ii）确定 $a$ ，使 $\hat{\theta}=a T$ 是 $\theta$ 的无偏估计，并求 $D(\hat{\theta})$ ；
（2）已知 $k$ 个失效元件寿命值分别为 $t_1, t_2, \cdots, t_k$ ，且 $t_1 \leq t_2 \leq \cdots \leq t_k$ ，似然函数为 $L(\theta)=\frac{1}{\theta^k} e^{-\frac{1}{\theta}\left[\sum_{i=1}^k t_i+(n-k) t_k\right]}$ ，求 $\theta$ 的最大似然估计值．