假设某种元件寿命服从指数分布，其均值 $\theta$ 是未知参数，为估计 $\theta$ ，取 $n$ 个这种元件同时做寿命实验，试验直到出现 $k(1 \leq k \leq n)$ 个元件失效时停止．
（1）若 $k=1$ ，失效元件寿命记为 $T$ ，（i）求 $T$ 的概率密度；（ii）确定 $a$ ，使 $\hat{\theta}=a T$ 是 $\theta$ 的无偏估计，并求 $D(\hat{\theta})$ ；
（2）已知 $k$ 个失效元件寿命值分别为 $t_1, t_2, \cdots, t_k$ ，且 $t_1 \leq t_2 \leq \cdots \leq t_k$ ，似然函数为 $L(\theta)=\frac{1}{\theta^k} e^{-\frac{1}{\theta}\left[\sum_{i=1}^k t_i+(n-k) t_k\right]}$ ，求 $\theta$ 的最大似然估计值．