设 $f(u)$ 在 $(0,+\infty)$ 内具有 3 阶连续导数，且存在可微函数 $F(x, y)$ 使

$$
d F(x, y)=\frac{f(x y)}{x^2 y} d x+\frac{f^{\prime \prime}(x y)}{x y^2} d y(x y>0) .
$$

（1）证明：$\frac{f^{\prime \prime}(u)}{u}-\frac{f(u)}{u}=c, c$ 为常数；
（2）设 $f(1)=1, f^{\prime}(1)=-1, f^{\prime \prime}(1)=0$ ，求 $f(u)$ 的表达式．