单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
函数 $z=\ln (1-x y)$ 在点 $(0,1)$ 处的全微分 $\mathrm{d} z=$
$\text{A.}$ $dx$
$\text{B.}$ $-dx$,
$\text{C.}$ $dy$
$\text{D.}$ $-dy$
函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $z^3-3 x y z=1$ 确定, 则 $\frac{\partial z}{\partial x}=$.
$\text{A.}$ $\frac{y z}{z^2-x y}$
$\text{B.}$ $\frac{-y z}{z^2-x y}$
$\text{C.}$ $\frac{z^2-x y}{y z}$
$\text{D.}$ $\frac{z^2-x y}{-y z}$
设 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq R^2\right\}$, 则 $\iint_D \sqrt{x^2+y^2} \mathrm{~d} \sigma=$.
$\text{A.}$ $\pi R^3$
$\text{B.}$ $\frac{2 \pi R^3}{3}$
$\text{C.}$ $\pi R^2$
$\text{D.}$ $2 \pi R^2$
下列级数中发散的级数是
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n(n+1)}$
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{n^2}$
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n$
微分方程 $y^{\prime \prime}-y^{\prime}+2 y=x \mathrm{e}^{2 x}$ 的特解 $y^*$ 的形式可设为
$\text{A.}$ $\operatorname{axe}^{2 x}$
$\text{B.}$ $(a x+b) \mathrm{e}^{2 x}$
$\text{C.}$ $(a x+b) x \mathrm{e}^{2 x}$
$\text{D.}$ $a x^2 \mathrm{e}^{2 x}$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
函数 $z=5 x^2 y$ 在点 $(1,0)$ 处沿方向 $\vec{l}=(3,-4)$ 的方向导数 $\frac{\partial z}{\partial l}=$
由 $x^2+y^2 \leq z \leq 1$ 表示的立体图形的体积 $V=$
设闭区域 $D$ 由光滑曲线 $L$ 围成, $D$ 的面积等于 $2, L$ 是 $D$ 的取正向的 边界曲线, 则 $\oint_L 2 y \mathrm{~d} x-3 x \mathrm{~d} y=$
将函数 $f(x)=x(x-2) \quad(0 \leq x \leq 2)$ 展开成周期为 4 的正弦级数, 其和函数为 $S(x)$, 则 $S(-3)=$
微分方程 $y^{\prime}=3 x^2 y$ 在条件 $\left.y\right|_{x=0}=1$ 下的特解为 $y=$
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $z=f\left(x-y, x^2 y\right), f$ 具有连续的二阶偏导数, 求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$.
交换二次积分 $I=\int_0^{\sqrt{\pi}} \mathrm{d} x \int_x^{\sqrt{\pi}} \sin y^2 \mathrm{~d} y$ 的次序, 并且求出 $I$ 的值.
计算 $\iint_{\Sigma} x^3 \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z$, 其中 $\Sigma$ 为圆柱面 $x^2+y^2=R^2$ 介于平面 $z=0$ 和 $z=h$ 之间部分的外侧.
将函数 $f(x)=\frac{x-2}{2+x}$ 展开成 $(x-2)$ 的幂级数, 并指出其收敛域.
求解微分方程的初值问题: $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=0,\left.y\right|_{x=0}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=2$.
求点 $(2,2,0)$ 到曲面 $x^2+y^2-2 z=0$ 的最短距离.
已知曲线积分 $\int_L\left[2 \mathrm{e}^x-f(x)\right] y^2 \mathrm{~d} x+2 y f(x) \mathrm{d} y$ 与路径无关, 其中 $f(x)$ 具有连续的导数, 且 $f(0)=1$, 求 $f(x)$.
设 $a_n=\int_1^{\mathrm{e}}(\ln x)^{\sqrt{n}} \mathrm{~d} x$, 证明: 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n}$ 收敛