填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
如图，已知直线 $y=k x(k>0)$ 分别交反比例函数 $y=\frac{1}{x}$ 和 $y=\frac{4}{x}$ 在第一象限的图象于点 $A$ ， $B$ ，过点 $B$ 作 $B D \perp x$ 轴于点 $D$ ，交 $y=\frac{1}{x}$ 的图象于点 $C$ ，连接 $A C$ ．若 $ A B C$ 是等腰三角形，则 $k$ 的值是
如图，矩形 $O A B C$ 位于直角坐标系中，点 $B(6 k, 3 k)$ 在第一象限内，点 $A$ 在 $x$ 轴上，点 $C$ 在 $y$ 轴上，反比例函数 $y=\frac{k+1}{x}$ 的图象交 $A B$ 于点 $F$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ，点 $D$ 在边 $O A$ 上．若 $\triangle D E F$ 恰好是以 $E F$ 为斜边的等腰直角三角形，则 $k$ 的值为
3．如图，点 $A$ 是反比例函数 $y=\frac{6}{x}(x>0)$ 的图象上一点，过点 $A$ 作直线 $y=-x$ 的垂线，垂足为点 $B$ ，再过点 $A$ 作 $A C \perp A B$ 交 $y=\frac{6}{x}(x>0)$ 的图象于点 $C$ ，若 $\triangle A B C$ 是等腰三角形，则点 $B$ 的坐标是 $\_\_\_\_$ ．
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
如图所示，一次函数 $y=x+3$ 的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象交于 $A, B$ 两点，与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $C, D$ 两点，连接 $O B, S_{\triangle B O D}=3$ ．
（1）求 $k$ 的值．
（2）$x$ 轴上是否存在一点 $E$ ，使 $\triangle A B E$ 为等腰三角形？若存在，求出点 $E$ 的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，反比例函数 $y=\frac{m}{x}$ 的图象与一次函数 $y=k x+b$ 的图象交于点 $A(-2,1)$ 和 $B(-1, n)$
（1）分别求出反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式 $\frac{m}{x}>k x+b$ 的解集；
（3）在 $x$ 轴上是否存在点 $P$ 使 $\triangle O A P$ 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，直线 $y=k x+b$ 与 $x$ 轴交于点 $A(4,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B(0,-2)$ ，与反比例函数 $y= \frac{k}{x}(x>0)$ 的图象交于点 $C(m, 1)$ ．
（1）求直线和反比例函数的表达式．
（2）结合图象，请直接写出不等式 $\frac{k}{x} \geq a x+b$ 的解集．
（3）连接 $O C$ ，在 $x$ 轴上找一点 $P$ ，使 $\triangle O P C$ 是以 $O C$ 为腰的等腰三角形，请求出点 $P$ 的坐标．
如图，反比例函数 $y_1=\frac{m}{x}$ 图象与正比例函数 $y_2=n x$ 图象相交于点 $A(-1,2)$ 与点 $B$ ．
（1）试求反比例函数 $y_1=\frac{m}{x}$ 与正比例函数 $y_2=n x$ 的函数表达式及点 $B$ 的坐标．
（2）请直接写出 $\frac{m}{x}>n x$ 的解集。
（3）现把 $y_2=n x$ 的图象绕 $O$ 点顺时针旋转 $90^{\circ}$ 得到了 $y_3=a x$ ．试问在 $y_3=a x$ 函数图象上是否存在一动点 $E$ ，使 $\triangle A B E$ 是以 $B E$ 为底边的等腰三角形？如果有，请求出这个点 $E$ 的坐标；如果没有，请说明理由．
如图，已知反比例函数 $y=\frac{k}{2 x}$ 和一次函数 $y=2 x-1$ ，其中一次函数的图象经过 $(a, b)$ ， $(a+1, b+k)$ 两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如下图，已知点 $A$ 在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点 $A$ 的坐标；
（3）利用（2）的结果为条件，请问：在 $x$ 轴上是否存在点 $P$ ，使 $\triangle A O P$ 是以 $A O$ 为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点 $P$ 的坐标．
如图，一次函数 $y=\frac{4}{3} x+\frac{2}{3}$ 的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 的图象交于点 $A(a, 2)$ ，与 $x$ 轴交于点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $A O$ ．
（1）求反比例函数的表达式及点 $B$ 的坐标；
（2）将直线 $A B$ 向下平移 $m(m>0)$ 个单位长度得到直线 $l: y=\frac{4}{3} x+\frac{2}{3}-m$ ，设直线 $l$ 与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 的图象交于点 $P$ ，与 $x$ 轴交于点 $D$ ．
① 连接 $A P, B P$ ，若 $S_{\triangle A B P}=3 S_{\triangle A O C}$ ，求 $m$ 的值；
② 连接 $A D, C D$ ，当 $\triangle A C D$ 是等腰三角形时，请直接写出点 $D$ 到直线 $A B$ 的距离．
如图，$y=\frac{k}{x}(x>0)$ 与次函数 $y=m x+2$ 的图像交于点 $A(2,6), y=m x+2$ 的图像交 $y$轴于点 $B$ ．将过点 $A 、 B$ 的直线向下平移，平移后的直线与反比例函数的图像交于点 $C$ ，交 $y$ 轴于点 $D$ ，且点 $C$ 的横坐标为 3 ．
（1）求 $k, m$ 的值；
（2）直接写出当 $x>0$ 时，不等式 $\frac{k}{x}>m x+2$ 的解集： $\_\_\_\_$ ；
（3）在 $x$ 轴负半轴上确定一点 $E$ ，使得以 $A 、 D 、 E$ 三点为顶点的三角形是等腰三角形，请求出所有符合条件的点 $E$ 的坐标．
