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如图，已知直线 $y=k x(k>0)$ 分别交反比例函数 $y=\frac{1}{x}$ 和 $y=\frac{4}{x}$ 在第一象限的图象于点 $A$ ， $B$ ，过点 $B$ 作 $B D \perp x$ 轴于点 $D$ ，交 $y=\frac{1}{x}$ 的图象于点 $C$ ，连接 $A C$ ．若 $ A B C$ 是等腰三角形，则 $k$ 的值是
                        
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