如图，已知反比例函数 $y=\frac{k}{2 x}$ 和一次函数 $y=2 x-1$ ，其中一次函数的图象经过 $(a, b)$ ， $(a+1, b+k)$ 两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如下图，已知点 $A$ 在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点 $A$ 的坐标；
（3）利用（2）的结果为条件，请问：在 $x$ 轴上是否存在点 $P$ ，使 $\triangle A O P$ 是以 $A O$ 为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点 $P$ 的坐标．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如下图，已知点 $A$ 在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点 $A$ 的坐标；
（3）利用（2）的结果为条件，请问：在 $x$ 轴上是否存在点 $P$ ，使 $\triangle A O P$ 是以 $A O$ 为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点 $P$ 的坐标．