解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
试求下列数列 $\left\{a_n\right\}$ 之极限： $a_{n+1}=2+\frac{1}{a_n}(a>0)$ 。
试求下列极限：
（1）$I=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[(n+1)^\alpha-n^\alpha\right](0 < \alpha < 1)$ 。
（2）$I=\lim _{n \rightarrow \infty} n(\sqrt[n]{n}-1)^2$ ．
（3）$I=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a^n}{(1+a) \cdots\left(1+a^n\right)}(a>0)$ ．
（4）$I=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(2 n-1)!!}{(2 n)!!}$ ．
试求下列数列 $\left\{a_n\right\}$ 的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$ ：
（1）$a_n=\sqrt[n]{2 \sin ^2 n+\cos ^2 n}$ ．
（2）$a_n=(n+1+n \cos n)^{1 /(2 n+n \cdot \sin n)}$ ．
（3）$a_n=n^{p / n^k}(p, k \in N )$ 。
试求下述（和式）数列 $\left\{a_n\right\}$ 的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$ ：
（1）$a_n=\frac{1}{n^n} \sum_{k=1}^n k^k$ ．
（2）$a_n=\left(\sum_{k=1}^m a_k b_k^n\right)^{1 / n}\left(a_k, b_k>0\right)$ ．
（3）$a_n=\sqrt[n]{\sum_{k=1}^n k^n} / n$ 。
（4）$a_n=\sum_{k=1}^n \sqrt{(n x+k)(n x+k+1)}(x>0)$ ．
解答下列问题：
（1）设 $a_1+a_2+a_3=0$ ，试论 $\lim _{n \rightarrow \infty} I_n\left(I_n=a_1 \sqrt{n}+a_2 \sqrt{n+1}+a_3 \sqrt{n+2}\right)$ 。
（2）试定 $a, b, c$ 之值，使得 $\lim _{n \rightarrow \infty} I_n=2\left(I_n=n\left(a n+\sqrt{2+b n+c n^2}\right)\right.$ 。
（3）$I=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{p_1 a_1^{n+1}+p_2 a_2^{n+1}+\cdots+p_k a_k^{n+1}}{p_1 a_1^n+p_2 a_2^n+\cdots+p_k a_k^n}=a_{k_0} \triangleq \max \left\{a_1, a_2, \cdots, a_k\right\}\left(a_i>0\right.$, $\left.p_i>0(i=1,2, \cdots, k)\right)$.
试论数列 $a_{n+1}=A a_n+B(n \in N , B \neq 0)$ 的敛散性。
试证明下列数列 $\left\{a_n\right\}$ 不收敛：
（1）$\{\tan n\}$ ．
（2）$\left\{\sin 4^n\right\}$ ．
证明题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
试证明下列极限式：
（1） $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1$ 。
（2） $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[2 n+1]{n^2+n}=1$ 。
设 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n a_k=A$ ，试证明
（1） $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_1+2 a_2+\cdots+n a_n}{n}=0$ 。
（2） $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(n!\cdot a_1 \cdot a_2 \cdots a_n\right)^{1 / n}=0$ ．
设 $m$ 是取定的正整数，记 $I_n=\frac{1^m+2^m+\cdots+n^m}{n^m}-\frac{n}{m+1}$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} I_n$
试论下述数列 $\left\{a_n\right\}$ 的有界性：
（1）$a_{n+2}=\sqrt{a_n}+\sqrt{a_{n+1}}\left(a_1, a_2>0\right)$ 。
（2）$a_{n+1}=a_n+1 / a_n^2(a>0)$ 。
试判别下述数列 $\left\{a_n\right\}$ 的有界性：
（1）$\left\{a_n\right\}$ 满足： $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(a_{n+1}-a_n\right)=+\infty$ 。
（2）$\left\{a_n\right\}$ 满足：$\left|a_n-a_m\right|>1 / n(n < m)$ 。
（3）$a_{n+2} \leqslant p a_n+(1-p) a_{n+1}\left(0 < p < 1, a_n>0\right)$ 。
判别下述数列 $\left\{a_n\right\}$ 的收敛性：
（1）$a_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^3}+\cdots+\frac{1}{n^n}$ ．
（2）$a_{n+1}-a_n>-1 / n^2\left(\left|a_n\right| \leqslant M\right)$ ．
试论下述数列 $\left\{a_n\right\}$ 的敛散性：
（1）$a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n^\alpha}\left(\alpha>0, a_1>0\right)$ 。
（2）$a_1>0, a_{n+1}=\frac{1}{m}\left[(m-1) a_n+a / a_n^{m-1}\right](m \in N , a>0)$ ．
（3）$a_1>-1 / 2, a_{n+1}=\frac{1}{3}\left(2 a_n+\frac{1}{a_n^2}\right)$ 。
试论下述数列 $\left\{a_n\right\}$ 的敛散性：
（1）$a_{n+1}=a_n\left(a_n^2+3 a\right) /\left(3 a_n^2+a\right)(a>0, a>0)$ 。
（2）$a_{n+1}=a \cdot \sin a_n(|a| \leqslant \pi / 2)$ 。
试证明下列命题：
（1）$a_n=(1+x / n)^n(x>0, n \in N )$ 是有界的严格递增数列。
（2）$a_n=(1+x / n)^{m+n}(x>0, m>0$ 且 $m, n \in N )$ 是严格递减数列。
解答下列问题：
（1）求 $I=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{n!}{n^n}}$ ．
（2）求 $I=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[m]{n}}{\sqrt[n]{n!}}$ ．
（3）试证明 $\left\{a_n\right\}$ 是收敛列，其中 $a_n=\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2^2}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{2^n}\right)(n \in N )$ ．
判别下述数列 $\left\{a_n\right\}$ 的敛散性：
（1）$a_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{n+n}$ 。
（2）$a_n=\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}+\frac{1}{\sqrt{(n+1)(n+2)}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2 n(2 n+1)}}$ ．
（3）$a_n=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}-2 \sqrt{n}$ ．
试证明 $I=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{2 n-1}\right) / \ln n=\frac{3}{2}$ ．