解答下列问题：
（1）设 $a_1+a_2+a_3=0$ ，试论 $\lim _{n \rightarrow \infty} I_n\left(I_n=a_1 \sqrt{n}+a_2 \sqrt{n+1}+a_3 \sqrt{n+2}\right)$ 。
（2）试定 $a, b, c$ 之值，使得 $\lim _{n \rightarrow \infty} I_n=2\left(I_n=n\left(a n+\sqrt{2+b n+c n^2}\right)\right.$ 。
（3）$I=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{p_1 a_1^{n+1}+p_2 a_2^{n+1}+\cdots+p_k a_k^{n+1}}{p_1 a_1^n+p_2 a_2^n+\cdots+p_k a_k^n}=a_{k_0} \triangleq \max \left\{a_1, a_2, \cdots, a_k\right\}\left(a_i>0\right.$, $\left.p_i>0(i=1,2, \cdots, k)\right)$.