解答下列问题：
（1）求 $I=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{n!}{n^n}}$ ．
（2）求 $I=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[m]{n}}{\sqrt[n]{n!}}$ ．
（3）试证明 $\left\{a_n\right\}$ 是收敛列，其中 $a_n=\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2^2}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{2^n}\right)(n \in N )$ ．