填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+2}+(-1)^{n} a_{n}=3 n-1$ ，前 16 项和为 540 ，则 $a_{1}=$
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=2, n a_{n+1}-(n+1) a_{n}=1\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ ．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）设 $b_{n}=\left\{\begin{array}{l}a_{n}+1, n \text { 为奇数，} \\ 2 a_{n+1}, n \text { 为偶数，}\end{array}\right.$ 求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 100 项和．
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}+3 a_{2}+\mathrm{L}+(2 n-1) a_{n}=n$ ．
（1）证明：$\left\{\frac{1}{a_{n}}\right\}$ 是一个等差数列；
（2）已知 $c_{n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{19 a_{n}}, n \text { 为奇数 } \\ a_{n} a_{n+2}, n \text { 为偶数 }\end{array}\right.$ ，求数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $2 n$ 项和 $S_{2 n}$ ．
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n}=\left\{\begin{array}{l}2^{n-2}, n \text { 为奇数 } \\ 3 n-2, n \text { 为偶数 }\end{array}\left\{a_{n}\right\}\right.$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．
（1）求 $a_{1}, a_{2}$ ，并判断 1024 是数列中的第几项；
（2）求 $S_{2 n-1}$ ．
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{2 n+1}=a_{2 n}+1, a_{2 n}=2 a_{2 n-1}$ ．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）设 $T_{n}=\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\mathrm{L}+\frac{1}{a_{n}}$ ，求证：$T_{2 n} < 3$ ．
已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，其公比 $q \neq-1, \frac{a_{4}+a_{5}}{a_{7}+a_{8}}=\frac{1}{27}$ ，且 $S_{4}=a_{3}+93$ ．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）已知 $b_{n}=\left\{\begin{array}{c}\log _{\frac{1}{3}} a_{n}, n \text { 为奇数 } \\ a_{n}, n \text { 为偶数 }\end{array}\right.$, 求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是正项等比数列，满足 $a_{3}$ 是 $2 a_{1} 、 3 a_{2}$ 的等差中项，$a_{4}=16$ ．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）若 $b_{n}=(-1)^{n} \log _{2} a_{2 n+1}$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．
已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{5}=9, S_{5}=25$ ．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式及前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；
（2）设 $b_{n}=(-1)^{n} S_{n}$ ，求 $\left\{b_{n}\right\}$ 前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．
记 $S_{n}$ ，为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $S_{n}=\frac{a_{n}}{2}+n^{2}+1, n \in \mathbf{N}^{*}$ ．
（1）求 $a_{1}+a_{2}$ ，并证明 $\left\{a_{n}+a_{n+1}\right\}$ 是等差数列；
（2）求 $S_{n}$ ．