已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}+3 a_{2}+\mathrm{L}+(2 n-1) a_{n}=n$ ．
（1）证明：$\left\{\frac{1}{a_{n}}\right\}$ 是一个等差数列；
（2）已知 $c_{n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{19 a_{n}}, n \text { 为奇数 } \\ a_{n} a_{n+2}, n \text { 为偶数 }\end{array}\right.$ ，求数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $2 n$ 项和 $S_{2 n}$ ．