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记 $S_{n}$ ，为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $S_{n}=\frac{a_{n}}{2}+n^{2}+1, n \in \mathbf{N}^{*}$ ．
（1）求 $a_{1}+a_{2}$ ，并证明 $\left\{a_{n}+a_{n+1}\right\}$ 是等差数列；
（2）求 $S_{n}$ ．
                        
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